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x^2-x^4
Trazado el gráfico de la función/ x^2-x^4

Gráfico de la función y = x^2-x^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    4
f(x) = x  - x
f(x)=−x4+x2f{\left(x \right)} = - x^{4} + x^{2} 
f = -x^4 + x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x4+x2=0- x^{4} + x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
x3=−1x_{3} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - x^4.
02−040^{2} - 0^{4}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x3+2x=0- 4 x^{3} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−22x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x3=22x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

    ___       
 -\/ 2        
(-------, 1/4)
    2         

   ___      
 \/ 2       
(-----, 1/4)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−22]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[22,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−6x2)=02 \left(1 - 6 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−66x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{6}
x2=66x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−66,66]\left[- \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−66]∪[66,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x4+x2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{4} + x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x4+x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{4} + x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - x^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x4+x2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x4+x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{4} + x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x4+x2=−x4+x2- x^{4} + x^{2} = - x^{4} + x^{2}
- Sí
−x4+x2=x4−x2- x^{4} + x^{2} = x^{4} - x^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-x^4
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