Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^2-5)/(x-3)
- Límite de la función:
-
(x^3-4*x)/(-4+3*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres - cuatro *x)/(- cuatro + tres *x^ dos)
- (x al cubo menos 4 multiplicar por x) dividir por ( menos 4 más 3 multiplicar por x al cuadrado )
- (x en el grado tres menos cuatro multiplicar por x) dividir por ( menos cuatro más tres multiplicar por x en el grado dos)
- (x3-4*x)/(-4+3*x2)
- x3-4*x/-4+3*x2
- (x³-4*x)/(-4+3*x²)
- (x en el grado 3-4*x)/(-4+3*x en el grado 2)
- (x^3-4x)/(-4+3x^2)
- (x3-4x)/(-4+3x2)
- x3-4x/-4+3x2
- x^3-4x/-4+3x^2
- (x^3-4*x) dividir por (-4+3*x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-4*x)/(-4-3*x^2)
- (x^3+4*x)/(-4+3*x^2)
- (x^3-4*x)/(4+3*x^2)
Gráfico de la función y = (x^3-4*x)/(-4+3*x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x - 4*x
f(x) = ---------
2
-4 + 3*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4}$$
f = (x^3 - 4*x)/(3*x^2 - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 x \left(x^{3} - 4 x\right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{6 x \left(x^{3} - 4 x\right)}{\left(3 x^{2} - 4\right)^{2}} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
$$\lim_{x \to -1.15470053837925^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1.15470053837925^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1.15470053837925^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.15470053837925^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
$$\lim_{x \to -1.15470053837925^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1.15470053837925^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1.15470053837925^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1.15470053837925^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{\left(x^{2} - 4\right) \left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4} - 1\right)}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
$$x_{1} = -1.15470053837925$$
$$x_{2} = 1.15470053837925$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 4*x)/(-4 + 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{x \left(3 x^{2} - 4\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{x \left(3 x^{2} - 4\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{x \left(3 x^{2} - 4\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 4 x}{x \left(3 x^{2} - 4\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = \frac{- x^{3} + 4 x}{3 x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = - \frac{- x^{3} + 4 x}{3 x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = \frac{- x^{3} + 4 x}{3 x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{x^{3} - 4 x}{3 x^{2} - 4} = - \frac{- x^{3} + 4 x}{3 x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico