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Trazado el gráfico de la función/ ln(2x+1)-x^2

Gráfico de la función y = ln(2x+1)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2
f(x) = log(2*x + 1) - x
f(x)=−x2+log⁡(2x+1)f{\left(x \right)} = - x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} 
f = -x^2 + log(2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+log⁡(2x+1)=0- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=1.06954928902342x_{2} = 1.06954928902342
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(2*x + 1) - x^2.
log⁡(0⋅2+1)−02\log{\left(0 \cdot 2 + 1 \right)} - 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+22x+1=0- 2 x + \frac{2}{2 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1 + pi*I)

(1/2, -1/4 + log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(1+2(2x+1)2)=0- 2 \left(1 + \frac{2}{\left(2 x + 1\right)^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+log⁡(2x+1))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+log⁡(2x+1))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(2*x + 1) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x2+log⁡(2x+1)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2+log⁡(2x+1)x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+log⁡(2x+1)=−x2+log⁡(1−2x)- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} = - x^{2} + \log{\left(1 - 2 x \right)}
- No
−x2+log⁡(2x+1)=x2−log⁡(1−2x)- x^{2} + \log{\left(2 x + 1 \right)} = x^{2} - \log{\left(1 - 2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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