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Trazado el gráfico de la función/ ln(x^3+x-2)

Gráfico de la función y = ln(x^3+x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          / 3        \
f(x) = log\x  + x - 2/
f(x)=log⁡((x3+x)−2)f{\left(x \right)} = \log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} 
f = log(x^3 + x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡((x3+x)−2)=0\log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=323(−(−162+6741)2318+233)−27+7413x_{1} = \frac{3^{\frac{2}{3}} \left(- \frac{\left(-162 + 6 \sqrt{741}\right)^{\frac{2}{3}}}{18} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)}{\sqrt[3]{-27 + \sqrt{741}}}
Solución numérica
x1=1.21341166276223x_{1} = 1.21341166276223
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x^3 + x - 2).
log⁡(−2+03)\log{\left(-2 + 0^{3} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(2)+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(2 \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+1(x3+x)−2=0\frac{3 x^{2} + 1}{\left(x^{3} + x\right) - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x−(3x2+1)2x3+x−2x3+x−2=0\frac{6 x - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{3} + x - 2}}{x^{3} + x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−29218227+13+2218227+132−−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132x_{1} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}
x2=−29218227+13+2218227+132+−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−29218227+13+2218227+132−−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132,−29218227+13+2218227+132+−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132]\left[- \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}, - \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−29218227+13+2218227+132−−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132]∪[−29218227+13+2218227+132+−2218227+13−29218227+13+829218227+13+2218227+132,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1} - \frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + \frac{8}{\sqrt{\frac{2}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}} + 2 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{182}}{27} + 1}}}}}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡((x3+x)−2)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡((x3+x)−2)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x^3 + x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡((x3+x)−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡((x3+x)−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡((x3+x)−2)=log⁡(−x3−x−2)\log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} = \log{\left(- x^{3} - x - 2 \right)}
- No
log⁡((x3+x)−2)=−log⁡(−x3−x−2)\log{\left(\left(x^{3} + x\right) - 2 \right)} = - \log{\left(- x^{3} - x - 2 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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