Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ln*(x+4)/(x-2)

Gráfico de la función y = ln*(x+4)/(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x + 4)
f(x) = ----------
         x - 2
f(x)=log⁡(x+4)x−2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2} 
f = log(x + 4)/(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+4)x−2=0\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 4)/(x - 2).
log⁡(4)−2\frac{\log{\left(4 \right)}}{-2}
Resultado:
f(0)=−log⁡(4)2f{\left(0 \right)} = - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}
Punto:
(0, -log(4)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x−2)(x+4)−log⁡(x+4)(x−2)2=0\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} - \frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+4)2−2(x−2)(x+4)+2log⁡(x+4)(x−2)2x−2=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 4 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=27732.3756214626x_{1} = 27732.3756214626
x2=48118.0458630616x_{2} = 48118.0458630616
x3=54803.4881441841x_{3} = 54803.4881441841
x4=55913.8430109058x_{4} = 55913.8430109058
x5=32318.2354224996x_{5} = 32318.2354224996
x6=31175.4996932754x_{6} = 31175.4996932754
x7=30030.3664344542x_{7} = 30030.3664344542
x8=24263.7470545983x_{8} = 24263.7470545983
x9=50351.2039481891x_{9} = 50351.2039481891
x10=52579.58620952x_{10} = 52579.58620952
x11=46999.5741529783x_{11} = 46999.5741529783
x12=43636.0397404855x_{12} = 43636.0397404855
x13=41386.4010329619x_{13} = 41386.4010329619
x14=28882.7056429339x_{14} = 28882.7056429339
x15=40259.2239485916x_{15} = 40259.2239485916
x16=35733.2068252472x_{16} = 35733.2068252472
x17=37999.8255966667x_{17} = 37999.8255966667
x18=25423.0740467586x_{18} = 25423.0740467586
x19=44758.620320137x_{19} = 44758.620320137
x20=45879.7815488777x_{20} = 45879.7815488777
x21=26579.2215804665x_{21} = 26579.2215804665
x22=36867.4585864673x_{22} = 36867.4585864673
x23=42511.9858242385x_{23} = 42511.9858242385
x24=34596.9830552026x_{24} = 34596.9830552026
x25=51465.9728320884x_{25} = 51465.9728320884
x26=39130.3889084217x_{26} = 39130.3889084217
x27=−2.26148779748038x_{27} = -2.26148779748038
x28=53692.0799725151x_{28} = 53692.0799725151
x29=49235.2416517488x_{29} = 49235.2416517488
x30=57023.1752429365x_{30} = 57023.1752429365
x31=33458.6931594049x_{31} = 33458.6931594049
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(−1(x+4)2−2(x−2)(x+4)+2log⁡(x+4)(x−2)2x−2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 4 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x - 2}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(−1(x+4)2−2(x−2)(x+4)+2log⁡(x+4)(x−2)2x−2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 2\right) \left(x + 4\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 4 \right)}}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x - 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=2x_{1} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2.26148779748038]\left(-\infty, -2.26148779748038\right]
Convexa en los intervalos
[−2.26148779748038,∞)\left[-2.26148779748038, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+4)x−2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+4)x−2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 4)/(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+4)x(x−2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+4)x(x−2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x \left(x - 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+4)x−2=log⁡(4−x)−x−2\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2} = \frac{\log{\left(4 - x \right)}}{- x - 2}
- No
log⁡(x+4)x−2=−log⁡(4−x)−x−2\frac{\log{\left(x + 4 \right)}}{x - 2} = - \frac{\log{\left(4 - x \right)}}{- x - 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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