Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-4x^2-8)*sqrt(1/(x-5))

Gráfico de la función y = (-4x^2-8)*sqrt(1/(x-5))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        _______
       /     2    \    /   1   
f(x) = \- 4*x  - 8/*  /  ----- 
                    \/   x - 5
f(x)=(−4x2−8)1x−5f{\left(x \right)} = \left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}} 
f = (-4*x^2 - 8)*sqrt(1/(x - 5))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−4x2−8)1x−5=0\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-4*x^2 - 8)*sqrt(1/(x - 5)).
(−8−4⋅02)1−5\left(-8 - 4 \cdot 0^{2}\right) \sqrt{\frac{1}{-5}}
Resultado:
f(0)=−85i5f{\left(0 \right)} = - \frac{8 \sqrt{5} i}{5}
Punto:
(0, -8*i*sqrt(5)/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8x1x−5−(−4x2−8)1x−52(x−5)=0- 8 x \sqrt{\frac{1}{x - 5}} - \frac{\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}}}{2 \left(x - 5\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=103−1063x_{1} = \frac{10}{3} - \frac{\sqrt{106}}{3}
x2=103+1063x_{2} = \frac{10}{3} + \frac{\sqrt{106}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                 /                     2\ 
                 |       /       _____\ | 
                 |       |10   \/ 106 | | 
        _____  I*|-8 - 4*|-- - -------| | 
 10   \/ 106     \       \3       3   / / 
(-- - -------, --------------------------)
 3       3              _____________     
                       /       _____      
                      /  5   \/ 106       
                     /   - + -------      
                   \/    3      3         

                                    2 
                      /       _____\  
                      |10   \/ 106 |  
        _____  -8 - 4*|-- + -------|  
 10   \/ 106          \3       3   /  
(-- + -------, ----------------------)
 3       3           _______________  
                    /         _____   
                   /    5   \/ 106    
                  /   - - + -------   
                \/      3      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=103+1063x_{2} = \frac{10}{3} + \frac{\sqrt{106}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,103+1063]\left(-\infty, \frac{10}{3} + \frac{\sqrt{106}}{3}\right]
Crece en los intervalos
[103+1063,∞)\left[\frac{10}{3} + \frac{\sqrt{106}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(8xx−5−8−3(x2+2)(x−5)2)1x−5=0\left(\frac{8 x}{x - 5} - 8 - \frac{3 \left(x^{2} + 2\right)}{\left(x - 5\right)^{2}}\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=5x_{1} = 5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−4x2−8)1x−5)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x2−8)1x−5)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-4*x^2 - 8)*sqrt(1/(x - 5)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−4x2−8)1x−5x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−4x2−8)1x−5x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−4x2−8)1x−5=(−4x2−8)1−x−5\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}} = \left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{- x - 5}}
- No
(−4x2−8)1x−5=−(−4x2−8)1−x−5\left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{x - 5}} = - \left(- 4 x^{2} - 8\right) \sqrt{\frac{1}{- x - 5}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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