Sr Examen

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(-log(1+x))/(1-x)
Trazado el gráfico de la función/ (-log(1+x))/(1-x)

Gráfico de la función y = (-log(1+x))/(1-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       -log(1 + x) 
f(x) = ------------
          1 - x
f(x)=(−1)log⁡(x+1)1−xf{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x} 
f = (-log(x + 1))/(1 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)log⁡(x+1)1−x=0\frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-log(1 + x))/(1 - x).
(−1)log⁡(1)1−0\frac{\left(-1\right) \log{\left(1 \right)}}{1 - 0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(1−x)(x+1)−log⁡(x+1)(1−x)2=0- \frac{1}{\left(1 - x\right) \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)+2log⁡(x+1)(x−1)2x−1=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34856.3546906075x_{1} = 34856.3546906075
x2=56090.0156444064x_{2} = 56090.0156444064
x3=24578.4567737346x_{3} = 24578.4567737346
x4=35987.101658533x_{4} = 35987.101658533
x5=57195.9640585799x_{5} = 57195.9640585799
x6=28027.5669832704x_{6} = 28027.5669832704
x7=52766.3998855945x_{7} = 52766.3998855945
x8=41614.9721088897x_{8} = 41614.9721088897
x9=39368.6894395282x_{9} = 39368.6894395282
x10=33723.6843051682x_{10} = 33723.6843051682
x11=30313.0711583927x_{11} = 30313.0711583927
x12=53875.2621041885x_{12} = 53875.2621041885
x13=38243.1875642342x_{13} = 38243.1875642342
x14=50545.5498341066x_{14} = 50545.5498341066
x15=54983.1242581985x_{15} = 54983.1242581985
x16=29171.5904995992x_{16} = 29171.5904995992
x17=44973.5248474526x_{17} = 44973.5248474526
x18=32588.989410925x_{18} = 32588.989410925
x19=47205.9412102245x_{19} = 47205.9412102245
x20=40492.5953811719x_{20} = 40492.5953811719
x21=48320.3048464994x_{21} = 48320.3048464994
x22=58300.9959035701x_{22} = 58300.9959035701
x23=25731.2004025347x_{23} = 25731.2004025347
x24=26880.8329973123x_{24} = 26880.8329973123
x25=46090.3625396016x_{25} = 46090.3625396016
x26=31452.1590866034x_{26} = 31452.1590866034
x27=43855.3812200838x_{27} = 43855.3812200838
x28=37116.0176685265x_{28} = 37116.0176685265
x29=49433.4947641099x_{29} = 49433.4947641099
x30=42735.881529686x_{30} = 42735.881529686
x31=51656.5066853361x_{31} = 51656.5066853361
x32=−0.24730562832981x_{32} = -0.24730562832981
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)+2log⁡(x+1)(x−1)2x−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(−1(x+1)2−2(x−1)(x+1)+2log⁡(x+1)(x−1)2x−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x - 1\right)^{2}}}{x - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−0.24730562832981]\left(-\infty, -0.24730562832981\right]
Convexa en los intervalos
[−0.24730562832981,∞)\left[-0.24730562832981, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)log⁡(x+1)1−x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((−1)log⁡(x+1)1−x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-log(1 + x))/(1 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x+1)x(1−x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(1 - x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(x+1)x(1−x))=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x \left(1 - x\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)log⁡(x+1)1−x=−log⁡(1−x)x+1\frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x + 1}
- No
(−1)log⁡(x+1)1−x=log⁡(1−x)x+1\frac{\left(-1\right) \log{\left(x + 1 \right)}}{1 - x} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (-log(1+x))/(1-x)
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