Sr Examen

Gráfico de la función y = (y-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              2
f(y) = (y - 2) 
f(y)=(y2)2f{\left(y \right)} = \left(y - 2\right)^{2}
f = (y - 2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(y2)2=0\left(y - 2\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=2y_{1} = 2
Solución numérica
y1=2y_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en (y - 2)^2.
(2)2\left(-2\right)^{2}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
2y4=02 y - 4 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=2y_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
y1=2y_{1} = 2
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[2,)\left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(,2]\left(-\infty, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
2=02 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
limy(y2)2=\lim_{y \to -\infty} \left(y - 2\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limy(y2)2=\lim_{y \to \infty} \left(y - 2\right)^{2} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (y - 2)^2, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
limy((y2)2y)=\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\left(y - 2\right)^{2}}{y}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limy((y2)2y)=\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\left(y - 2\right)^{2}}{y}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
(y2)2=(y2)2\left(y - 2\right)^{2} = \left(- y - 2\right)^{2}
- No
(y2)2=(y2)2\left(y - 2\right)^{2} = - \left(- y - 2\right)^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar