Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$2 x \left(x^{2} + 6 x \left(x - 1\right) + 3 \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}, \frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{3}{5}\right]$$