Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- dos *ln((x- uno)/x)+ uno
- 2 multiplicar por ln((x menos 1) dividir por x) más 1
- dos multiplicar por ln((x menos uno) dividir por x) más uno
- 2ln((x-1)/x)+1
- 2lnx-1/x+1
- 2*ln((x-1) dividir por x)+1
-
Expresiones semejantes
- (2ln)(x-1)/(x)+1
- 2ln((x-1)/x)+1
- 1/2(ln(x-1)/(x+1))
- 2*ln((x-1)/x)-1
- 2*ln((x+1)/x)+1
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln(x/(x+5))-1
- ln(x^2+4x)
- ln*((x-12)/(x+12))
- ln(x/(x-2))+1
- ln^2*(x)
Gráfico de la función y = 2*ln((x-1)/x)+1
Solución
Ha introducido
[src]
/x - 1\
f(x) = 2*log|-----| + 1
\ x /
$$f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1$$
f = 2*log((x - 1)/x) + 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{e^{\frac{1}{2}}}{1 - e^{\frac{1}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5414940825368$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{e^{\frac{1}{2}}}{1 - e^{\frac{1}{2}}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.5414940825368$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*log((x - 1)/x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} + 1$$
- No
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = - 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} + 1$$
- No
$$2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = - 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico