Sr Examen

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2*ln((x-1)/x)+1
Trazado el gráfico de la función/ 2*ln((x-1)/x)+1

Gráfico de la función y = 2*ln((x-1)/x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x - 1\    
f(x) = 2*log|-----| + 1
            \  x  /
f(x)=2log⁡(x−1x)+1f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 
f = 2*log((x - 1)/x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2log⁡(x−1x)+1=02 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−e121−e12x_{1} = - \frac{e^{\frac{1}{2}}}{1 - e^{\frac{1}{2}}}
Solución numérica
x1=2.5414940825368x_{1} = 2.5414940825368
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*log((x - 1)/x) + 1.
2log⁡(−10)+12 \log{\left(- \frac{1}{0} \right)} + 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(1x−x−1x2)x−1=0\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x - 1}{x^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−x−1x)(−1x−1−1x)x−1=0\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−x−1x)(−1x−1−1x)x−1)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(1−x−1x)(−1x−1−1x)x−1)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x - 1}{x}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)}{x - 1}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(x−1x)+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(2log⁡(x−1x)+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*log((x - 1)/x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(x−1x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2log⁡(x−1x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2log⁡(x−1x)+1=2log⁡(−−x−1x)+12 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} + 1
- No
2log⁡(x−1x)+1=−2log⁡(−−x−1x)−12 \log{\left(\frac{x - 1}{x} \right)} + 1 = - 2 \log{\left(- \frac{- x - 1}{x} \right)} - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2*ln((x-1)/x)+1
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