Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- uno / dos (ln(x- uno)/(x+ uno))
- 1 dividir por 2(ln(x menos 1) dividir por (x más 1))
- uno dividir por dos (ln(x menos uno) dividir por (x más uno))
- 1/2lnx-1/x+1
- 1 dividir por 2(ln(x-1) dividir por (x+1))
-
Expresiones semejantes
- 1/2(ln(x+1)/(x+1))
- 1/2(ln(x-1)/(x-1))
-
Expresiones con funciones
- ln
- ln((x+6)/x)
- ln(x+sqrtx^2-1)
- ln(4x+x^2)
- ln((x+1)/x)-2
- ln(4+x-5x^2)
Gráfico de la función y = 1/2(ln(x-1)/(x+1))
Solución
Ha introducido
[src]
/log(x - 1)\
|----------|
\ x + 1 /
f(x) = ------------
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}$$
f = (log(x - 1)/(x + 1))/2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5.31913656629145$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 5.31913656629145$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 5.31913656629145\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[5.31913656629145, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 5.31913656629145$$
Signos de extremos en los puntos:
(5.319136566291447, 0.115763878341387)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 5.31913656629145$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 5.31913656629145\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[5.31913656629145, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29280.6602860566$$
$$x_{2} = 40389.9216425609$$
$$x_{3} = 32615.614587406$$
$$x_{4} = 49238.845509605$$
$$x_{5} = 37060.8599029189$$
$$x_{6} = 56945.7425275945$$
$$x_{7} = 60238.8611882022$$
$$x_{8} = 50341.8623759292$$
$$x_{9} = 21557.4708623094$$
$$x_{10} = 58044.083415075$$
$$x_{11} = 25952.4229092183$$
$$x_{12} = 45925.6414944865$$
$$x_{13} = 38171.1164195739$$
$$x_{14} = 42606.2223123429$$
$$x_{15} = 27060.3604964733$$
$$x_{16} = 53646.8120762067$$
$$x_{17} = 51444.1922267006$$
$$x_{18} = 24846.9041072732$$
$$x_{19} = 8.75850139245233$$
$$x_{20} = 39280.8174200104$$
$$x_{21} = 59141.7867742053$$
$$x_{22} = 41498.3977410718$$
$$x_{23} = 47030.7366098686$$
$$x_{24} = 48135.1377342732$$
$$x_{25} = 33727.3768885467$$
$$x_{26} = 22647.6734132483$$
$$x_{27} = 54747.1148258963$$
$$x_{28} = 52545.8401260386$$
$$x_{29} = 28169.9602471575$$
$$x_{30} = 34838.9107991473$$
$$x_{31} = 20477.2720369415$$
$$x_{32} = 31503.7714729962$$
$$x_{33} = 30392.0378560872$$
$$x_{34} = 44819.8539662132$$
$$x_{35} = 23744.8394019495$$
$$x_{36} = 55846.7557118197$$
$$x_{37} = 43713.3783411671$$
$$x_{38} = 19411.7256059838$$
$$x_{39} = 35950.1015682861$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[8.75850139245233, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.75850139245233\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 29280.6602860566$$
$$x_{2} = 40389.9216425609$$
$$x_{3} = 32615.614587406$$
$$x_{4} = 49238.845509605$$
$$x_{5} = 37060.8599029189$$
$$x_{6} = 56945.7425275945$$
$$x_{7} = 60238.8611882022$$
$$x_{8} = 50341.8623759292$$
$$x_{9} = 21557.4708623094$$
$$x_{10} = 58044.083415075$$
$$x_{11} = 25952.4229092183$$
$$x_{12} = 45925.6414944865$$
$$x_{13} = 38171.1164195739$$
$$x_{14} = 42606.2223123429$$
$$x_{15} = 27060.3604964733$$
$$x_{16} = 53646.8120762067$$
$$x_{17} = 51444.1922267006$$
$$x_{18} = 24846.9041072732$$
$$x_{19} = 8.75850139245233$$
$$x_{20} = 39280.8174200104$$
$$x_{21} = 59141.7867742053$$
$$x_{22} = 41498.3977410718$$
$$x_{23} = 47030.7366098686$$
$$x_{24} = 48135.1377342732$$
$$x_{25} = 33727.3768885467$$
$$x_{26} = 22647.6734132483$$
$$x_{27} = 54747.1148258963$$
$$x_{28} = 52545.8401260386$$
$$x_{29} = 28169.9602471575$$
$$x_{30} = 34838.9107991473$$
$$x_{31} = 20477.2720369415$$
$$x_{32} = 31503.7714729962$$
$$x_{33} = 30392.0378560872$$
$$x_{34} = 44819.8539662132$$
$$x_{35} = 23744.8394019495$$
$$x_{36} = 55846.7557118197$$
$$x_{37} = 43713.3783411671$$
$$x_{38} = 19411.7256059838$$
$$x_{39} = 35950.1015682861$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[8.75850139245233, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 8.75850139245233\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x - 1)/(x + 1))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}$$
- No
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = - \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}$$
- No
$$\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = - \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar