Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/2(ln(x-1)/(x+1))

Gráfico de la función y = 1/2(ln(x-1)/(x+1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /log(x - 1)\
       |----------|
       \  x + 1   /
f(x) = ------------
            2
f(x)=1x+1log⁡(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} 
f = (log(x - 1)/(x + 1))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.0-1.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x+1log⁡(x−1)2=0\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (log(x - 1)/(x + 1))/2.
1−1log⁡(−1)2\frac{1^{-1} \log{\left(-1 \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=iπ2f{\left(0 \right)} = \frac{i \pi}{2}
Punto:
(0, pi*i/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x−1)2(x+1)2+12(x−1)(x+1)=0- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5.31913656629145x_{1} = 5.31913656629145
Signos de extremos en los puntos:
(5.319136566291447, 0.115763878341387)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=5.31913656629145x_{1} = 5.31913656629145
Decrece en los intervalos
(−∞,5.31913656629145]\left(-\infty, 5.31913656629145\right]
Crece en los intervalos
[5.31913656629145,∞)\left[5.31913656629145, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−−2log⁡(x−1)(x+1)2+2(x−1)(x+1)+1(x−1)22(x+1)=0- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=29280.6602860566x_{1} = 29280.6602860566
x2=40389.9216425609x_{2} = 40389.9216425609
x3=32615.614587406x_{3} = 32615.614587406
x4=49238.845509605x_{4} = 49238.845509605
x5=37060.8599029189x_{5} = 37060.8599029189
x6=56945.7425275945x_{6} = 56945.7425275945
x7=60238.8611882022x_{7} = 60238.8611882022
x8=50341.8623759292x_{8} = 50341.8623759292
x9=21557.4708623094x_{9} = 21557.4708623094
x10=58044.083415075x_{10} = 58044.083415075
x11=25952.4229092183x_{11} = 25952.4229092183
x12=45925.6414944865x_{12} = 45925.6414944865
x13=38171.1164195739x_{13} = 38171.1164195739
x14=42606.2223123429x_{14} = 42606.2223123429
x15=27060.3604964733x_{15} = 27060.3604964733
x16=53646.8120762067x_{16} = 53646.8120762067
x17=51444.1922267006x_{17} = 51444.1922267006
x18=24846.9041072732x_{18} = 24846.9041072732
x19=8.75850139245233x_{19} = 8.75850139245233
x20=39280.8174200104x_{20} = 39280.8174200104
x21=59141.7867742053x_{21} = 59141.7867742053
x22=41498.3977410718x_{22} = 41498.3977410718
x23=47030.7366098686x_{23} = 47030.7366098686
x24=48135.1377342732x_{24} = 48135.1377342732
x25=33727.3768885467x_{25} = 33727.3768885467
x26=22647.6734132483x_{26} = 22647.6734132483
x27=54747.1148258963x_{27} = 54747.1148258963
x28=52545.8401260386x_{28} = 52545.8401260386
x29=28169.9602471575x_{29} = 28169.9602471575
x30=34838.9107991473x_{30} = 34838.9107991473
x31=20477.2720369415x_{31} = 20477.2720369415
x32=31503.7714729962x_{32} = 31503.7714729962
x33=30392.0378560872x_{33} = 30392.0378560872
x34=44819.8539662132x_{34} = 44819.8539662132
x35=23744.8394019495x_{35} = 23744.8394019495
x36=55846.7557118197x_{36} = 55846.7557118197
x37=43713.3783411671x_{37} = 43713.3783411671
x38=19411.7256059838x_{38} = 19411.7256059838
x39=35950.1015682861x_{39} = 35950.1015682861
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(−−2log⁡(x−1)(x+1)2+2(x−1)(x+1)+1(x−1)22(x+1))=−∞sign⁡(0.693147180559945+1iπ)\lim_{x \to -1^-}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}
lim⁡x→−1+(−−2log⁡(x−1)(x+1)2+2(x−1)(x+1)+1(x−1)22(x+1))=∞sign⁡(0.693147180559945+1iπ)\lim_{x \to -1^+}\left(- \frac{- \frac{2 \log{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}}{2 \left(x + 1\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 1 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[8.75850139245233,∞)\left[8.75850139245233, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,8.75850139245233]\left(-\infty, 8.75850139245233\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1x+1log⁡(x−1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(1x+1log⁡(x−1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (log(x - 1)/(x + 1))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−1)2x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−1)2x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2 x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x+1log⁡(x−1)2=log⁡(−x−1)2(1−x)\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}
- No
1x+1log⁡(x−1)2=−log⁡(−x−1)2(1−x)\frac{\frac{1}{x + 1} \log{\left(x - 1 \right)}}{2} = - \frac{\log{\left(- x - 1 \right)}}{2 \left(1 - x\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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