Sr Examen

Gráfico de la función y = abs(log2(abs(x))-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |log(|x|)    |
f(x) = |-------- - 1|
       | log(2)     |
$$f{\left(x \right)} = \left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|$$
f = Abs(log(|x|)/log(2) - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(log(|x|)/log(2) - 1).
$$\left|{\frac{\log{\left(\left|{0}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \infty$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1 \right)}}{x \log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
           0.693147180559945 
(-2, 1 - -----------------)
                 log(2)      

          0.693147180559945 
(2, 1 - -----------------)
                log(2)      


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(4 \delta\left(x\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1 \right)} + \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1 \right)} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\frac{\log{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1 \right)}}{x}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \log{\left(2 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right| = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(log(|x|)/log(2) - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right| = \left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|$$
- Sí
$$\left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right| = - \left|{\frac{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}}{\log{\left(2 \right)}} - 1}\right|$$
- No
es decir, función
es
par