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Trazado el gráfico de la función/ absolute(x-3)/(x^2-3x)

Gráfico de la función y = absolute(x-3)/(x^2-3x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x - 3| 
f(x) = --------
        2      
       x  - 3*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x}$$ 
f = |x - 3|/(x^2 - 3*x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 3|/(x^2 - 3*x).
$$\frac{\left|{-3}\right|}{0^{2} - 0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - 2 x\right) \left|{x - 3}\right|}{\left(x^{2} - 3 x\right)^{2}} + \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{x^{2} - 3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\delta\left(x - 3\right) - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)}\right) \left|{x - 3}\right|}{x \left(x - 3\right)} - \frac{\left(2 x - 3\right) \operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{x \left(x - 3\right)}\right)}{x \left(x - 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 3|/(x^2 - 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x \left(x^{2} - 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x \left(x^{2} - 3 x\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x} = \frac{\left|{x + 3}\right|}{x^{2} + 3 x}$$
- No
$$\frac{\left|{x - 3}\right|}{x^{2} - 3 x} = - \frac{\left|{x + 3}\right|}{x^{2} + 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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