Sr Examen

Gráfico de la función y = absolute(sin(x))/sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       |sin(x)|
f(x) = --------
        sin(x) 
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}$$
f = Abs(sin(x))/sin(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(sin(x))/sin(x).
$$\frac{\left|{\sin{\left(0 \right)}}\right|}{\sin{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 74$$
$$x_{2} = 84$$
$$x_{3} = -88$$
$$x_{4} = 8.25$$
$$x_{5} = -62$$
$$x_{6} = 28$$
$$x_{7} = -48$$
$$x_{8} = 12$$
$$x_{9} = 94$$
$$x_{10} = -7.75$$
$$x_{11} = 26$$
$$x_{12} = 64$$
$$x_{13} = 76$$
$$x_{14} = 42.25$$
$$x_{15} = -56$$
$$x_{16} = 24.25$$
$$x_{17} = 5.96428571428571$$
$$x_{18} = -96$$
$$x_{19} = -26$$
$$x_{20} = 54$$
$$x_{21} = 10$$
$$x_{22} = 14$$
$$x_{23} = -91.75$$
$$x_{24} = -45.7$$
$$x_{25} = -66$$
$$x_{26} = 82.25$$
$$x_{27} = -74$$
$$x_{28} = -64$$
$$x_{29} = 46.25$$
$$x_{30} = -36$$
$$x_{31} = 18$$
$$x_{32} = -28$$
$$x_{33} = -18$$
$$x_{34} = -77.75$$
$$x_{35} = -37.75$$
$$x_{36} = 66$$
$$x_{37} = 4$$
$$x_{38} = 60.25$$
$$x_{39} = -50$$
$$x_{40} = 88$$
$$x_{41} = -90$$
$$x_{42} = -12$$
$$x_{43} = 32$$
$$x_{44} = -59.75$$
$$x_{45} = 50$$
$$x_{46} = -68$$
$$x_{47} = -58$$
$$x_{48} = -23.4833333333333$$
$$x_{49} = -99.75$$
$$x_{50} = 36$$
$$x_{51} = 92.1666666666667$$
$$x_{52} = -84$$
$$x_{53} = 90$$
$$x_{54} = -54$$
$$x_{55} = 20$$
$$x_{56} = 56$$
$$x_{57} = -5.5$$
$$x_{58} = 2$$
$$x_{59} = 80$$
$$x_{60} = -70$$
$$x_{61} = -85.75$$
$$x_{62} = 100.25$$
$$x_{63} = 34.0833333333333$$
$$x_{64} = 52$$
$$x_{65} = 22.2424242424242$$
$$x_{66} = -81.95$$
$$x_{67} = -15.75$$
$$x_{68} = 78.25$$
$$x_{69} = 40$$
$$x_{70} = -32$$
$$x_{71} = -76$$
$$x_{72} = -94$$
$$x_{73} = 48$$
$$x_{74} = -30$$
$$x_{75} = 86.5$$
$$x_{76} = -72$$
$$x_{77} = -40$$
$$x_{78} = 68$$
$$x_{79} = -20$$
$$x_{80} = -2$$
$$x_{81} = -33.5$$
$$x_{82} = 72$$
$$x_{83} = 44.25$$
$$x_{84} = -52$$
$$x_{85} = 58$$
$$x_{86} = -4$$
$$x_{87} = -98$$
$$x_{88} = 30$$
$$x_{89} = 62$$
$$x_{90} = 16.1666666666667$$
$$x_{91} = -80$$
$$x_{92} = 38.25$$
$$x_{93} = -14$$
$$x_{94} = -43.6964285714286$$
$$x_{95} = -42.25$$
$$x_{96} = -21.75$$
$$x_{97} = 70$$
$$x_{98} = 96$$
$$x_{99} = 98$$
$$x_{100} = -10$$
Signos de extremos en los puntos:
(74, -1)

(84, 1)

(-88, -1)

(8.25, 1)

(-62, 1)

(28, 1)

(-48, 1)

(12, -1)

(94, -1)

(-7.75, -1)

(26, 1)

(64, 1)

(76, 1)

(42.25, -1)

(-56, 1)

(24.25, -1)

(5.964285714285714, -1)

(-96, -1)

(-26, -1)

(54, -1)

(10, -1)

(14, 1)

(-91.75, 1)

(-45.7, -1)

(-66, 1)

(82.25, 1)

(-74, 1)

(-64, -1)

(46.25, 1)

(-36, 1)

(18, -1)

(-28, -1)

(-18, 1)

(-77.75, -1)

(-37.75, -1)

(66, -1)

(4, -1)

(60.25, -1)

(-50, 1)

(88, 1)

(-90, -1)

(-12, 1)

(32, 1)

(-59.75, 1)

(50, -1)

(-68, 1)

(-58, -1)

(-23.483333333333334, 1)

(-99.75, 1)

(36, -1)

(92.16666666666667, -1)

(-84, -1)

(90, 1)

(-54, 1)

(20, 1)

(56, -1)

(-5.5, 1)

(2, 1)

(80, -1)

(-70, -1)

(-85.75, 1)

(100.25, -1)

(34.083333333333336, 1)

(52, 1)

(22.242424242424242, -1)

(-81.95, -1)

(-15.75, 1)

(78.25, 1)

(40, 1)

(-32, -1)

(-76, -1)

(-94, 1)

(48, -1)

(-30, 1)

(86.5, -1)

(-72, -1)

(-40, -1)

(68, -1)

(-20, -1)

(-2, -1)

(-33.5, -1)

(72, 1)

(44.25, 1)

(-52, -1)

(58, 1)

(-4, 1)

(-98, 1)

(30, -1)

(62, -1)

(16.166666666666668, -1)

(-80, 1)

(38.25, 1)

(-14, -1)

(-43.69642857142857, 1)

(-42.25, 1)

(-21.75, -1)

(70, 1)

(96, 1)

(98, -1)

(-10, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -74$$
$$x_{2} = 32$$
$$x_{3} = 36$$
$$x_{4} = -70$$
$$x_{5} = -94$$
$$x_{6} = -33.5$$
$$x_{7} = 58$$
$$x_{8} = -4$$
$$x_{9} = 96$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{9} = 74$$
$$x_{9} = 94$$
$$x_{9} = -7.75$$
$$x_{9} = -96$$
$$x_{9} = -36$$
$$x_{9} = 4$$
$$x_{9} = -58$$
$$x_{9} = -32$$
$$x_{9} = 70$$
Decrece en los intervalos
$$\left[96, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -94\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(sin(x))/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar