Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ absolute(sin(x))/sin(x)

Gráfico de la función y = absolute(sin(x))/sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |sin(x)|
f(x) = --------
        sin(x)
f(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} 
f = Abs(sin(x))/sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=0\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs(sin(x))/sin(x).
∣sin⁡(0)∣sin⁡(0)\frac{\left|{\sin{\left(0 \right)}}\right|}{\sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
cos⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)−cos⁡(x)∣sin⁡(x)∣sin⁡2(x)=0\frac{\cos{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)} \left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=74x_{1} = 74
x2=84x_{2} = 84
x3=−88x_{3} = -88
x4=8.25x_{4} = 8.25
x5=−62x_{5} = -62
x6=28x_{6} = 28
x7=−48x_{7} = -48
x8=12x_{8} = 12
x9=94x_{9} = 94
x10=−7.75x_{10} = -7.75
x11=26x_{11} = 26
x12=64x_{12} = 64
x13=76x_{13} = 76
x14=42.25x_{14} = 42.25
x15=−56x_{15} = -56
x16=24.25x_{16} = 24.25
x17=5.96428571428571x_{17} = 5.96428571428571
x18=−96x_{18} = -96
x19=−26x_{19} = -26
x20=54x_{20} = 54
x21=10x_{21} = 10
x22=14x_{22} = 14
x23=−91.75x_{23} = -91.75
x24=−45.7x_{24} = -45.7
x25=−66x_{25} = -66
x26=82.25x_{26} = 82.25
x27=−74x_{27} = -74
x28=−64x_{28} = -64
x29=46.25x_{29} = 46.25
x30=−36x_{30} = -36
x31=18x_{31} = 18
x32=−28x_{32} = -28
x33=−18x_{33} = -18
x34=−77.75x_{34} = -77.75
x35=−37.75x_{35} = -37.75
x36=66x_{36} = 66
x37=4x_{37} = 4
x38=60.25x_{38} = 60.25
x39=−50x_{39} = -50
x40=88x_{40} = 88
x41=−90x_{41} = -90
x42=−12x_{42} = -12
x43=32x_{43} = 32
x44=−59.75x_{44} = -59.75
x45=50x_{45} = 50
x46=−68x_{46} = -68
x47=−58x_{47} = -58
x48=−23.4833333333333x_{48} = -23.4833333333333
x49=−99.75x_{49} = -99.75
x50=36x_{50} = 36
x51=92.1666666666667x_{51} = 92.1666666666667
x52=−84x_{52} = -84
x53=90x_{53} = 90
x54=−54x_{54} = -54
x55=20x_{55} = 20
x56=56x_{56} = 56
x57=−5.5x_{57} = -5.5
x58=2x_{58} = 2
x59=80x_{59} = 80
x60=−70x_{60} = -70
x61=−85.75x_{61} = -85.75
x62=100.25x_{62} = 100.25
x63=34.0833333333333x_{63} = 34.0833333333333
x64=52x_{64} = 52
x65=22.2424242424242x_{65} = 22.2424242424242
x66=−81.95x_{66} = -81.95
x67=−15.75x_{67} = -15.75
x68=78.25x_{68} = 78.25
x69=40x_{69} = 40
x70=−32x_{70} = -32
x71=−76x_{71} = -76
x72=−94x_{72} = -94
x73=48x_{73} = 48
x74=−30x_{74} = -30
x75=86.5x_{75} = 86.5
x76=−72x_{76} = -72
x77=−40x_{77} = -40
x78=68x_{78} = 68
x79=−20x_{79} = -20
x80=−2x_{80} = -2
x81=−33.5x_{81} = -33.5
x82=72x_{82} = 72
x83=44.25x_{83} = 44.25
x84=−52x_{84} = -52
x85=58x_{85} = 58
x86=−4x_{86} = -4
x87=−98x_{87} = -98
x88=30x_{88} = 30
x89=62x_{89} = 62
x90=16.1666666666667x_{90} = 16.1666666666667
x91=−80x_{91} = -80
x92=38.25x_{92} = 38.25
x93=−14x_{93} = -14
x94=−43.6964285714286x_{94} = -43.6964285714286
x95=−42.25x_{95} = -42.25
x96=−21.75x_{96} = -21.75
x97=70x_{97} = 70
x98=96x_{98} = 96
x99=98x_{99} = 98
x100=−10x_{100} = -10
Signos de extremos en los puntos:
(74, -1)

(84, 1)

(-88, -1)

(8.25, 1)

(-62, 1)

(28, 1)

(-48, 1)

(12, -1)

(94, -1)

(-7.75, -1)

(26, 1)

(64, 1)

(76, 1)

(42.25, -1)

(-56, 1)

(24.25, -1)

(5.964285714285714, -1)

(-96, -1)

(-26, -1)

(54, -1)

(10, -1)

(14, 1)

(-91.75, 1)

(-45.7, -1)

(-66, 1)

(82.25, 1)

(-74, 1)

(-64, -1)

(46.25, 1)

(-36, 1)

(18, -1)

(-28, -1)

(-18, 1)

(-77.75, -1)

(-37.75, -1)

(66, -1)

(4, -1)

(60.25, -1)

(-50, 1)

(88, 1)

(-90, -1)

(-12, 1)

(32, 1)

(-59.75, 1)

(50, -1)

(-68, 1)

(-58, -1)

(-23.483333333333334, 1)

(-99.75, 1)

(36, -1)

(92.16666666666667, -1)

(-84, -1)

(90, 1)

(-54, 1)

(20, 1)

(56, -1)

(-5.5, 1)

(2, 1)

(80, -1)

(-70, -1)

(-85.75, 1)

(100.25, -1)

(34.083333333333336, 1)

(52, 1)

(22.242424242424242, -1)

(-81.95, -1)

(-15.75, 1)

(78.25, 1)

(40, 1)

(-32, -1)

(-76, -1)

(-94, 1)

(48, -1)

(-30, 1)

(86.5, -1)

(-72, -1)

(-40, -1)

(68, -1)

(-20, -1)

(-2, -1)

(-33.5, -1)

(72, 1)

(44.25, 1)

(-52, -1)

(58, 1)

(-4, 1)

(-98, 1)

(30, -1)

(62, -1)

(16.166666666666668, -1)

(-80, 1)

(38.25, 1)

(-14, -1)

(-43.69642857142857, 1)

(-42.25, 1)

(-21.75, -1)

(70, 1)

(96, 1)

(98, -1)

(-10, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−74x_{1} = -74
x2=32x_{2} = 32
x3=36x_{3} = 36
x4=−70x_{4} = -70
x5=−94x_{5} = -94
x6=−33.5x_{6} = -33.5
x7=58x_{7} = 58
x8=−4x_{8} = -4
x9=96x_{9} = 96
Puntos máximos de la función:
x9=74x_{9} = 74
x9=94x_{9} = 94
x9=−7.75x_{9} = -7.75
x9=−96x_{9} = -96
x9=−36x_{9} = -36
x9=4x_{9} = 4
x9=−58x_{9} = -58
x9=−32x_{9} = -32
x9=70x_{9} = 70
Decrece en los intervalos
[96,∞)\left[96, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−94]\left(-\infty, -94\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x))∣sin⁡(x)∣−sin⁡(x)sign⁡(sin⁡(x))+2cos⁡2(x)δ(sin⁡(x))−2cos⁡2(x)sign⁡(sin⁡(x))sin⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left|{\sin{\left(x \right)}}\right| - \sin{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} \delta\left(\sin{\left(x \right)}\right) - \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)} \operatorname{sign}{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}{\sin{\left(x \right)}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs(sin(x))/sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(∣sin⁡(x)∣xsin⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{x \sin{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=−∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = - \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- No
∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)=∣sin⁡(x)∣sin⁡(x)\frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}} = \frac{\left|{\sin{\left(x \right)}}\right|}{\sin{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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