Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ absolute((9-(absolute(x)))/(absolute(x)-3))

Gráfico de la función y = absolute((9-(absolute(x)))/(absolute(x)-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |9 - |x||
f(x) = |-------|
       ||x| - 3|
f(x)=∣9−∣x∣∣x∣−3∣f{\left(x \right)} = \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| 
f = Abs((9 - |x|)/(|x| - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣9−∣x∣∣x∣−3∣=0\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−9x_{1} = -9
x2=9x_{2} = 9
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs((9 - |x|)/(|x| - 3)).
∣9−∣0∣−3+∣0∣∣\left|{\frac{9 - \left|{0}\right|}{-3 + \left|{0}\right|}}\right|
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−xsign⁡(x)+9)(−(−xsign⁡(x)+9)sign⁡(x)(xsign⁡(x)−3)2−sign⁡(x)xsign⁡(x)−3)sign⁡(xsign⁡(x)−9xsign⁡(x)−3)xsign⁡(x)−9=0\frac{\left(- \frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} + 9\right) \left(- \frac{\left(- \frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} + 9\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3\right)^{2}} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 9}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3} \right)}}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞∣9−∣x∣∣x∣−3∣=1\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞∣9−∣x∣∣x∣−3∣=1\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((9 - |x|)/(|x| - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣9−∣x∣∣x∣−3∣x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣9−∣x∣∣x∣−3∣x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣9−∣x∣∣x∣−3∣=∣9−∣x∣∣x∣−3∣\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|
- Sí
∣9−∣x∣∣x∣−3∣=−∣9−∣x∣∣x∣−3∣\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = - \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|
- No
es decir, función
es
par
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