Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ absolute((9-(absolute(x)))/(absolute(x)-3))

Gráfico de la función y = absolute((9-(absolute(x)))/(absolute(x)-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |9 - |x||
f(x) = |-------|
       ||x| - 3|
$$f{\left(x \right)} = \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|$$ 
f = Abs((9 - |x|)/(|x| - 3))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 9$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en Abs((9 - |x|)/(|x| - 3)).
$$\left|{\frac{9 - \left|{0}\right|}{-3 + \left|{0}\right|}}\right|$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- \frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} + 9\right) \left(- \frac{\left(- \frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} + 9\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left(\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3\right)^{2}} - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3}\right) \operatorname{sign}{\left(\frac{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 9}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 3} \right)}}{\frac{x}{\operatorname{sign}{\left(x \right)}} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función Abs((9 - |x|)/(|x| - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|$$
- Sí
$$\left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right| = - \left|{\frac{9 - \left|{x}\right|}{\left|{x}\right| - 3}}\right|$$
- No
es decir, función
es
par
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