Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ absolute(x-1)/x^2

Gráfico de la función y = absolute(x-1)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x - 1|
f(x) = -------
           2  
          x
f(x)=∣x−1∣x2f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}} 
f = |x - 1|/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x−1∣x2=0\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 1|/x^2.
∣−1∣02\frac{\left|{-1}\right|}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x−1)x2−2∣x−1∣x3=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left|{x - 1}\right|}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0.25)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Crece en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x−1)−2sign⁡(x−1)x+3∣x−1∣x2)x2=0\frac{2 \left(\delta\left(x - 1\right) - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{x} + \frac{3 \left|{x - 1}\right|}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x−1∣x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(∣x−1∣x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 1|/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x−1∣xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x−1∣xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 1}\right|}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x−1∣x2=∣x+1∣x2\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}} = \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}}
- No
∣x−1∣x2=−∣x+1∣x2\frac{\left|{x - 1}\right|}{x^{2}} = - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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