Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x e^{x x}}{x - 1} - \frac{e^{x x}}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
|/ ___\ |
||1 \/ 3 | |
||- - -----| |
___ \\2 2 / /
1 \/ 3 e
(- - -----, ---------------)
2 2 ___
1 \/ 3
- - - -----
2 2
/ 2\
|/ ___\ |
||1 \/ 3 | |
||- + -----| |
___ \\2 2 / /
1 \/ 3 e
(- + -----, ---------------)
2 2 ___
1 \/ 3
- - + -----
2 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$$