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Trazado el gráfico de la función/ x^2-2*cos(x)+1

Gráfico de la función y = x^2-2*cos(x)+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2               
f(x) = x  - 2*cos(x) + 1
f(x)=(x2−2cos⁡(x))+1f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1 
f = x^2 - 2*cos(x) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−2cos⁡(x))+1=0\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−0.714621057779284x_{1} = -0.714621057779284
x2=0.714621057779284x_{2} = 0.714621057779284
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 2*cos(x) + 1.
(−2cos⁡(0)+02)+1\left(- 2 \cos{\left(0 \right)} + 0^{2}\right) + 1
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2sin⁡(x)=02 x + 2 \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(cos⁡(x)+1)=02 \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2cos⁡(x))+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2cos⁡(x))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 2*cos(x) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−2cos⁡(x))+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−2cos⁡(x))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−2cos⁡(x))+1=(x2−2cos⁡(x))+1\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = \left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1
- Sí
(x2−2cos⁡(x))+1=(−x2+2cos⁡(x))−1\left(x^{2} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) + 1 = \left(- x^{2} + 2 \cos{\left(x \right)}\right) - 1
- No
es decir, función
es
par
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