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y(x)=6x-2x^3+1
Trazado el gráfico de la función/ y(x)=6x-2x^3+1

Gráfico de la función y = y(x)=6x-2x^3+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3    
f(x) = 6*x - 2*x  + 1
f(x)=(−2x3+6x)+1f{\left(x \right)} = \left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1 
f = -2*x^3 + 6*x + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−2x3+6x)+1=0\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=114+15i43+14+15i43x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{15} i}{4}}
Solución numérica
x1=−0.168254401781027x_{1} = -0.168254401781027
x2=−1.64178352745293x_{2} = -1.64178352745293
x3=1.81003792923395x_{3} = 1.81003792923395
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 6*x - 2*x^3 + 1.
(0⋅6−2⋅03)+1\left(0 \cdot 6 - 2 \cdot 0^{3}\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6−6x2=06 - 6 x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -3)

(1, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−12x=0- 12 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−2x3+6x)+1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x3+6x)+1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 6*x - 2*x^3 + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−2x3+6x)+1x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−2x3+6x)+1x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−2x3+6x)+1=2x3−6x+1\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1 = 2 x^{3} - 6 x + 1
- No
(−2x3+6x)+1=−2x3+6x−1\left(- 2 x^{3} + 6 x\right) + 1 = - 2 x^{3} + 6 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y(x)=6x-2x^3+1
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