Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sinz

Gráfico de la función y = sinz

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(z) = sin(z)
f(z)=sin⁡(z)f{\left(z \right)} = \sin{\left(z \right)} 
f = sin(z)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(z)=0\sin{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=0z_{1} = 0
z2=πz_{2} = \pi
Solución numérica
z1=12.5663706143592z_{1} = 12.5663706143592
z2=53.4070751110265z_{2} = 53.4070751110265
z3=−97.3893722612836z_{3} = -97.3893722612836
z4=37.6991118430775z_{4} = 37.6991118430775
z5=97.3893722612836z_{5} = 97.3893722612836
z6=78.5398163397448z_{6} = 78.5398163397448
z7=−59.6902604182061z_{7} = -59.6902604182061
z8=−65.9734457253857z_{8} = -65.9734457253857
z9=0z_{9} = 0
z10=−31.4159265358979z_{10} = -31.4159265358979
z11=−113.097335529233z_{11} = -113.097335529233
z12=−50.2654824574367z_{12} = -50.2654824574367
z13=−21.9911485751286z_{13} = -21.9911485751286
z14=6.28318530717959z_{14} = 6.28318530717959
z15=−34.5575191894877z_{15} = -34.5575191894877
z16=−94.2477796076938z_{16} = -94.2477796076938
z17=−69.1150383789755z_{17} = -69.1150383789755
z18=−15.707963267949z_{18} = -15.707963267949
z19=21.9911485751286z_{19} = 21.9911485751286
z20=69.1150383789755z_{20} = 69.1150383789755
z21=62.8318530717959z_{21} = 62.8318530717959
z22=50.2654824574367z_{22} = 50.2654824574367
z23=81.6814089933346z_{23} = 81.6814089933346
z24=100.530964914873z_{24} = 100.530964914873
z25=−40.8407044966673z_{25} = -40.8407044966673
z26=9.42477796076938z_{26} = 9.42477796076938
z27=−87.9645943005142z_{27} = -87.9645943005142
z28=34.5575191894877z_{28} = 34.5575191894877
z29=65.9734457253857z_{29} = 65.9734457253857
z30=−62.8318530717959z_{30} = -62.8318530717959
z31=−18.8495559215388z_{31} = -18.8495559215388
z32=−28.2743338823081z_{32} = -28.2743338823081
z33=−267.035375555132z_{33} = -267.035375555132
z34=−232.477856365645z_{34} = -232.477856365645
z35=−56.5486677646163z_{35} = -56.5486677646163
z36=−53.4070751110265z_{36} = -53.4070751110265
z37=−37.6991118430775z_{37} = -37.6991118430775
z38=−25.1327412287183z_{38} = -25.1327412287183
z39=−100.530964914873z_{39} = -100.530964914873
z40=−9.42477796076938z_{40} = -9.42477796076938
z41=40.8407044966673z_{41} = 40.8407044966673
z42=−91.106186954104z_{42} = -91.106186954104
z43=−2642.07942166902z_{43} = -2642.07942166902
z44=−75.398223686155z_{44} = -75.398223686155
z45=18.8495559215388z_{45} = 18.8495559215388
z46=87.9645943005142z_{46} = 87.9645943005142
z47=59.6902604182061z_{47} = 59.6902604182061
z48=−6.28318530717959z_{48} = -6.28318530717959
z49=25.1327412287183z_{49} = 25.1327412287183
z50=47.1238898038469z_{50} = 47.1238898038469
z51=91.106186954104z_{51} = 91.106186954104
z52=28.2743338823081z_{52} = 28.2743338823081
z53=56.5486677646163z_{53} = 56.5486677646163
z54=−43.9822971502571z_{54} = -43.9822971502571
z55=−47.1238898038469z_{55} = -47.1238898038469
z56=−3.14159265358979z_{56} = -3.14159265358979
z57=31.4159265358979z_{57} = 31.4159265358979
z58=94.2477796076938z_{58} = 94.2477796076938
z59=−12.5663706143592z_{59} = -12.5663706143592
z60=75.398223686155z_{60} = 75.398223686155
z61=−72.2566310325652z_{61} = -72.2566310325652
z62=−84.8230016469244z_{62} = -84.8230016469244
z63=84.8230016469244z_{63} = 84.8230016469244
z64=72.2566310325652z_{64} = 72.2566310325652
z65=−81.6814089933346z_{65} = -81.6814089933346
z66=43.9822971502571z_{66} = 43.9822971502571
z67=−78.5398163397448z_{67} = -78.5398163397448
z68=15.707963267949z_{68} = 15.707963267949
z69=3.14159265358979z_{69} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en sin(z).
sin⁡(0)\sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
cos⁡(z)=0\cos{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=π2z_{1} = \frac{\pi}{2}
z2=3π2z_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 pi    
(--, 1)
 2     

 3*pi     
(----, -1)
  2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
z1=3π2z_{1} = \frac{3 \pi}{2}
Puntos máximos de la función:
z1=π2z_{1} = \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(z)=0- \sin{\left(z \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=0z_{1} = 0
z2=πz_{2} = \pi

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]∪[π,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[0,π]\left[0, \pi\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞sin⁡(z)=⟨−1,1⟩\lim_{z \to -\infty} \sin{\left(z \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡z→∞sin⁡(z)=⟨−1,1⟩\lim_{z \to \infty} \sin{\left(z \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(sin⁡(z)z)=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(z \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(sin⁡(z)z)=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(z \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
sin⁡(z)=−sin⁡(z)\sin{\left(z \right)} = - \sin{\left(z \right)}
- No
sin⁡(z)=sin⁡(z)\sin{\left(z \right)} = \sin{\left(z \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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