Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ sin((z+pi/2)/z)

Gráfico de la función y = sin((z+pi/2)/z)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
          |z + --|
          |    2 |
f(z) = sin|------|
          \  z   /
f(z)=sin⁡(z+π2z)f{\left(z \right)} = \sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} 
f = sin((z + pi/2)/z)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
z1=0z_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(z+π2z)=0\sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=−π2z_{1} = - \frac{\pi}{2}
z2=π2(−1+π)z_{2} = \frac{\pi}{2 \left(-1 + \pi\right)}
Solución numérica
z1=−1.5707963267949z_{1} = -1.5707963267949
z2=0.73347110346213z_{2} = 0.73347110346213
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en sin((z + pi/2)/z).
sin⁡(12π0)\sin{\left(\frac{\frac{1}{2} \pi}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
(1z−z+π2z2)cos⁡(z+π2z)=0\left(\frac{1}{z} - \frac{z + \frac{\pi}{2}}{z^{2}}\right) \cos{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=iπlog⁡(−e−2i)z_{1} = \frac{i \pi}{\log{\left(- e^{- 2 i} \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                  /  /pi       pi*I   \    /  -2*I\\ 
                  |I*|-- + -----------|*log\-e    /| 
                  |  |2       /  -2*I\|            | 
     pi*I         |  \     log\-e    //            | 
(-----------, -sin|--------------------------------|)
    /  -2*I\      \               pi               / 
 log\-e    /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
z1=iπlog⁡(−e−2i)z_{1} = \frac{i \pi}{\log{\left(- e^{- 2 i} \right)}}
Decrece en los intervalos
(−∞,iπlog⁡(−e−2i)]\left(-\infty, \frac{i \pi}{\log{\left(- e^{- 2 i} \right)}}\right]
Crece en los intervalos
[iπlog⁡(−e−2i),∞)\left[\frac{i \pi}{\log{\left(- e^{- 2 i} \right)}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
−(2−2z+πz)((2−2z+πz)sin⁡(z+π2z)4+cos⁡(z+π2z))z2=0- \frac{\left(2 - \frac{2 z + \pi}{z}\right) \left(\frac{\left(2 - \frac{2 z + \pi}{z}\right) \sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}}{4} + \cos{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}\right)}{z^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=39593.458738055z_{1} = 39593.458738055
z2=−17257.5935852883z_{2} = -17257.5935852883
z3=−29108.530995219z_{3} = -29108.530995219
z4=17585.5403439427z_{4} = 17585.5403439427
z5=15896.5859631139z_{5} = 15896.5859631139
z6=−34190.6211306688z_{6} = -34190.6211306688
z7=−33343.5354513907z_{7} = -33343.5354513907
z8=−32496.4752558919z_{8} = -32496.4752558919
z9=4.11152838284716z_{9} = 4.11152838284716
z10=28583.2945767901z_{10} = 28583.2945767901
z11=20966.8322839133z_{11} = 20966.8322839133
z12=35358.0984366944z_{12} = 35358.0984366944
z13=−28261.6315265271z_{13} = -28261.6315265271
z14=−38426.3756701413z_{14} = -38426.3756701413
z15=−40120.8051810344z_{15} = -40120.8051810344
z16=−35037.7305436374z_{16} = -35037.7305436374
z17=−22334.7110333409z_{17} = -22334.7110333409
z18=−16411.8654629508z_{18} = -16411.8654629508
z19=37052.1651061475z_{19} = 37052.1651061475
z20=26890.1095803329z_{20} = 26890.1095803329
z21=−25721.1918358699z_{21} = -25721.1918358699
z22=29429.9812945101z_{22} = 29429.9812945101
z23=24350.9110867634z_{23} = 24350.9110867634
z24=41287.764026154z_{24} = 41287.764026154
z25=25197.2220284511z_{25} = 25197.2220284511
z26=−35884.8620969149z_{26} = -35884.8620969149
z27=−23181.2317752336z_{27} = -23181.2317752336
z28=−31649.4424707255z_{28} = -31649.4424707255
z29=37899.2390011097z_{29} = 37899.2390011097
z30=11684.0051854502z_{30} = 11684.0051854502
z31=−13875.8878703664z_{31} = -13875.8878703664
z32=32817.2348357047z_{32} = 32817.2348357047
z33=−14720.9818607812z_{33} = -14720.9818607812
z34=20121.1863278703z_{34} = 20121.1863278703
z35=23504.7027639242z_{35} = 23504.7027639242
z36=30276.7232572488z_{36} = 30276.7232572488
z37=31970.3540854403z_{37} = 31970.3540854403
z38=−21488.2685826573z_{38} = -21488.2685826573
z39=21812.6470884737z_{39} = 21812.6470884737
z40=15052.7270449618z_{40} = 15052.7270449618
z41=−26567.9581052107z_{41} = -26567.9581052107
z42=−18103.4802804307z_{42} = -18103.4802804307
z43=−29955.4678605162z_{43} = -29955.4678605162
z44=33664.1544606289z_{44} = 33664.1544606289
z45=−20641.9132341026z_{45} = -20641.9132341026
z46=−18949.5062407138z_{46} = -18949.5062407138
z47=−39273.5824284916z_{47} = -39273.5824284916
z48=−19795.6551734614z_{48} = -19795.6551734614
z49=12524.8461893486z_{49} = 12524.8461893486
z50=−13031.0783983467z_{50} = -13031.0783983467
z51=−40968.0429812156z_{51} = -40968.0429812156
z52=−24027.8231477378z_{52} = -24027.8231477378
z53=−41815.2949557426z_{53} = -41815.2949557426
z54=42982.1442199685z_{54} = 42982.1442199685
z55=18430.5066536153z_{55} = 18430.5066536153
z56=26043.6246675969z_{56} = 26043.6246675969
z57=40440.6013977027z_{57} = 40440.6013977027
z58=22658.6097888625z_{58} = 22658.6097888625
z59=14209.3969079262z_{59} = 14209.3969079262
z60=−27414.7726898775z_{60} = -27414.7726898775
z61=34511.1099078989z_{61} = 34511.1099078989
z62=−15566.3189683686z_{62} = -15566.3189683686
z63=36205.1175789306z_{63} = 36205.1175789306
z64=42134.9453547176z_{64} = 42134.9453547176
z65=−12186.6048345281z_{65} = -12186.6048345281
z66=31123.5156192088z_{66} = 31123.5156192088
z67=−37579.1859336477z_{67} = -37579.1859336477
z68=−36732.0143366658z_{68} = -36732.0143366658
z69=−11342.5317715139z_{69} = -11342.5317715139
z70=−24874.4784586766z_{70} = -24874.4784586766
z71=16740.8811026829z_{71} = 16740.8811026829
z72=−30802.4392217346z_{72} = -30802.4392217346
z73=27736.6685920197z_{73} = 27736.6685920197
z74=19275.7343319158z_{74} = 19275.7343319158
z75=38746.3374333537z_{75} = 38746.3374333537
z76=13366.7163652133z_{76} = 13366.7163652133
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
z1=0z_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
z1=0z_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4.11152838284716,∞)\left[4.11152838284716, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.11152838284716]\left(-\infty, 4.11152838284716\right]
Asíntotas verticales
Hay:
z1=0z_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞sin⁡(z+π2z)=sin⁡(1)\lim_{z \to -\infty} \sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=sin⁡(1)y = \sin{\left(1 \right)}
lim⁡z→∞sin⁡(z+π2z)=sin⁡(1)\lim_{z \to \infty} \sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = \sin{\left(1 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=sin⁡(1)y = \sin{\left(1 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((z + pi/2)/z), dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞(sin⁡(z+π2z)z)=0\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡z→∞(sin⁡(z+π2z)z)=0\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}}{z}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
sin⁡(z+π2z)=−sin⁡(−z+π2z)\sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = - \sin{\left(\frac{- z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}
- No
sin⁡(z+π2z)=sin⁡(−z+π2z)\sin{\left(\frac{z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)} = \sin{\left(\frac{- z + \frac{\pi}{2}}{z} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор