Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(4-y^2)

Gráfico de la función y = -sqrt(4-y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ________
          /      2 
f(y) = -\/  4 - y
$$f{\left(y \right)} = - \sqrt{4 - y^{2}}$$ 
f = -sqrt(4 - y^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{4 - y^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
$$y_{1} = -2$$
$$y_{2} = 2$$
Solución numérica
$$y_{1} = 2$$
$$y_{2} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en -sqrt(4 - y^2).
$$- \sqrt{4 - 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{y}{\sqrt{4 - y^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\frac{y^{2}}{y^{2} - 4} - 1}{\sqrt{4 - y^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(- \sqrt{4 - y^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(- \sqrt{4 - y^{2}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -sqrt(4 - y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{y}\right) = i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = i y$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{4 - y^{2}}}{y}\right) = - i$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - i y$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{4 - y^{2}} = - \sqrt{4 - y^{2}}$$
- Sí
$$- \sqrt{4 - y^{2}} = \sqrt{4 - y^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
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