Sr Examen

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sqrt^3((x^2-1)^2)

Gráfico de la función y = sqrt^3((x^2-1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                      3
           ___________ 
          /         2  
         /  / 2    \   
f(x) = \/   \x  - 1/   
$$f{\left(x \right)} = \left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3}$$
f = (sqrt((x^2 - 1)^2))^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt((x^2 - 1)^2))^3.
$$\left(\sqrt{\left(-1 + 0^{2}\right)^{2}}\right)^{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x \left(x^{2} - 1\right)^{2} \left|{x^{2} - 1}\right|}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

(0, 1)

(1, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt((x^2 - 1)^2))^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left|{x^{2} - 1}\right|}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left|{x^{2} - 1}\right|}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3} = \left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3}$$
- Sí
$$\left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3} = - \left(\sqrt{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)^{3}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt^3((x^2-1)^2)