Sr Examen

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sqrt(3*x)-x^2
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3*x)-x^2

Gráfico de la función y = sqrt(3*x)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _____    2
f(x) = \/ 3*x  - x
$$f{\left(x \right)} = - x^{2} + \sqrt{3 x}$$ 
f = -x^2 + sqrt(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- x^{2} + \sqrt{3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \sqrt[3]{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.44224957030741$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3*x) - x^2.
$$\sqrt{0 \cdot 3} - 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 x + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{2 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
  2/3 3 ___    3 ___  2/3     3 ___    2/3 
 2   *\/ 3     \/ 2 *3      2*\/ 2 *2*3    
(----------, - ---------- + --------------)
     4             8              8


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{3}}{4}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (2 + \frac{\sqrt{3}}{4 x^{\frac{3}{2}}}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \sqrt{3 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \sqrt{3 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3*x) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{3 x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \sqrt{3 x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- x^{2} + \sqrt{3 x} = - x^{2} + \sqrt{3} \sqrt{- x}$$
- No
$$- x^{2} + \sqrt{3 x} = x^{2} - \sqrt{3} \sqrt{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(3*x)-x^2
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