Sr Examen

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sqrt(1-(x-3)^2)
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1-(x-3)^2)

Gráfico de la función y = sqrt(1-(x-3)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ______________
         /            2 
f(x) = \/  1 - (x - 3)
f(x)=1−(x−3)2f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} 
f = sqrt(1 - (x - 3)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1−(x−3)2=0\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 - (x - 3)^2).
1−(−3)2\sqrt{1 - \left(-3\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=22if{\left(0 \right)} = 2 \sqrt{2} i
Punto:
(0, 2*i*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3−x1−(x−3)2=0\frac{3 - x}{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(3, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Decrece en los intervalos
(−∞,3]\left(-\infty, 3\right]
Crece en los intervalos
[3,∞)\left[3, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1+(x−3)21−(x−3)21−(x−3)2=0- \frac{1 + \frac{\left(x - 3\right)^{2}}{1 - \left(x - 3\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1−(x−3)2=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞1−(x−3)2=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 - (x - 3)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1−(x−3)2x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞(1−(x−3)2x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1−(x−3)2=1−(−x−3)2\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} = \sqrt{1 - \left(- x - 3\right)^{2}}
- No
1−(x−3)2=−1−(−x−3)2\sqrt{1 - \left(x - 3\right)^{2}} = - \sqrt{1 - \left(- x - 3\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(1-(x-3)^2)
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