Sr Examen

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sqrt(-1-x^2-2*log(x))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-1-x^2-2*log(x))

Gráfico de la función y = sqrt(-1-x^2-2*log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________________
         /       2            
f(x) = \/  -1 - x  - 2*log(x)
f(x)=(−x2−1)−2log⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} 
f = sqrt(-x^2 - 1 - 2*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x2−1)−2log⁡(x)=0\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=e−12−W(e−1)2x_{1} = e^{- \frac{1}{2} - \frac{W\left(e^{-1}\right)}{2}}
Solución numérica
x1=0.527697396962572x_{1} = 0.527697396962572
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-1 - x^2 - 2*log(x)).
−2log⁡(0)+(−1−02)\sqrt{- 2 \log{\left(0 \right)} + \left(-1 - 0^{2}\right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x−1x(−x2−1)−2log⁡(x)=0\frac{- x - \frac{1}{x}}{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x+1x)2−x2−2log⁡(x)−1+1−1x2−x2−2log⁡(x)−1=0- \frac{\frac{\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}}{- x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{- x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=44436.8366054698x_{1} = 44436.8366054698
x2=32369.3160701169x_{2} = 32369.3160701169
x3=24609.981921608x_{3} = 24609.981921608
x4=26834.5194616681x_{4} = 26834.5194616681
x5=53140.1708958314x_{5} = 53140.1708958314
x6=36773.1216053444x_{6} = 36773.1216053444
x7=48795.1126819889x_{7} = 48795.1126819889
x8=57473.3231745434x_{8} = 57473.3231745434
x9=47706.8393943388x_{9} = 47706.8393943388
x10=25723.062051485x_{10} = 25723.062051485
x11=40063.7668286933x_{11} = 40063.7668286933
x12=37871.102523839x_{12} = 37871.102523839
x13=42252.2615613279x_{13} = 42252.2615613279
x14=46617.7184277505x_{14} = 46617.7184277505
x15=45527.7258570539x_{15} = 45527.7258570539
x16=34573.6763152642x_{16} = 34573.6763152642
x17=29052.779643701x_{17} = 29052.779643701
x18=3.3190501422373x_{18} = 3.3190501422373
x19=33472.1318408839x_{19} = 33472.1318408839
x20=35673.9925577311x_{20} = 35673.9925577311
x21=43345.0243731161x_{21} = 43345.0243731161
x22=50969.2065628517x_{22} = 50969.2065628517
x23=56391.0878143637x_{23} = 56391.0878143637
x24=41158.5191929185x_{24} = 41158.5191929185
x25=55308.1619755039x_{25} = 55308.1619755039
x26=52055.0698337607x_{26} = 52055.0698337607
x27=30159.6881155944x_{27} = 30159.6881155944
x28=27944.4075531611x_{28} = 27944.4075531611
x29=49882.5611315689x_{29} = 49882.5611315689
x30=38967.9724807949x_{30} = 38967.9724807949
x31=31265.1838824938x_{31} = 31265.1838824938
x32=54224.5288460826x_{32} = 54224.5288460826

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x2−1)−2log⁡(x)=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x2−1)−2log⁡(x)=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-1 - x^2 - 2*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x2−1)−2log⁡(x)x)=−i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−ixy = - i x
lim⁡x→∞((−x2−1)−2log⁡(x)x)=i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=ixy = i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x2−1)−2log⁡(x)=−x2−2log⁡(−x)−1\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \sqrt{- x^{2} - 2 \log{\left(- x \right)} - 1}
- No
(−x2−1)−2log⁡(x)=−−x2−2log⁡(−x)−1\sqrt{\left(- x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = - \sqrt{- x^{2} - 2 \log{\left(- x \right)} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(-1-x^2-2*log(x))
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