Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(-1+x^2-2*log(x))

Gráfico de la función y = sqrt(-1+x^2-2*log(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________________
         /       2            
f(x) = \/  -1 + x  - 2*log(x)
f(x)=(x2−1)−2log⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} 
f = sqrt(x^2 - 1 - 2*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−1)−2log⁡(x)=0\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
x3=1x_{3} = 1
x4=0.999999999999999x_{4} = 0.999999999999999
x5=0.999999999999999x_{5} = 0.999999999999999
x6=0.999999999999999x_{6} = 0.999999999999999
x7=0.999999999999999x_{7} = 0.999999999999999
x8=1x_{8} = 1
x9=1x_{9} = 1
x10=1x_{10} = 1
x11=1x_{11} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(-1 + x^2 - 2*log(x)).
−2log⁡(0)+(−1+02)\sqrt{- 2 \log{\left(0 \right)} + \left(-1 + 0^{2}\right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x−1x(x2−1)−2log⁡(x)=0\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       ___   ____   ____ 
(-1, \/ 2 *\/ pi *\/ -I )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(x−1x)2x2−2log⁡(x)−1+1+1x2x2−2log⁡(x)−1=0\frac{- \frac{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2}}{x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1} + 1 + \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{x^{2} - 2 \log{\left(x \right)} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=41054.2919209007x_{1} = 41054.2919209007
x2=57397.540789956x_{2} = 57397.540789956
x3=38858.1094732586x_{3} = 38858.1094732586
x4=54144.4417575701x_{4} = 54144.4417575701
x5=55229.5664407738x_{5} = 55229.5664407738
x6=53058.5308333006x_{6} = 53058.5308333006
x7=44340.0000470846x_{7} = 44340.0000470846
x8=36656.9314302668x_{8} = 36656.9314302668
x9=37758.1702703367x_{9} = 37758.1702703367
x10=50884.2600780051x_{10} = 50884.2600780051
x11=45433.1119883782x_{11} = 45433.1119883782
x12=49795.8521677212x_{12} = 49795.8521677212
x13=48706.5616705335x_{13} = 48706.5616705335
x14=35554.3373596985x_{14} = 35554.3373596985
x15=46525.2214767654x_{15} = 46525.2214767654
x16=25558.1383952913x_{16} = 25558.1383952913
x17=39956.8006694737x_{17} = 39956.8006694737
x18=26676.3809829617x_{18} = 26676.3809829617
x19=56313.9260605689x_{19} = 56313.9260605689
x20=24437.6172294641x_{20} = 24437.6172294641
x21=51971.8114119148x_{21} = 51971.8114119148
x22=31129.1307476749x_{22} = 31129.1307476749
x23=28906.569796315x_{23} = 28906.569796315
x24=42150.6280656244x_{24} = 42150.6280656244
x25=34450.3280491492x_{25} = 34450.3280491492
x26=47616.3611206578x_{26} = 47616.3611206578
x27=32237.7983660002x_{27} = 32237.7983660002
x28=33344.8385497328x_{28} = 33344.8385497328
x29=27792.4834253576x_{29} = 27792.4834253576
x30=30018.7518587x_{30} = 30018.7518587
x31=43245.8510203885x_{31} = 43245.8510203885

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[51971.8114119148,∞)\left[51971.8114119148, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,46525.2214767654]\left(-\infty, 46525.2214767654\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1)−2log⁡(x)=∞\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1)−2log⁡(x)=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(-1 + x^2 - 2*log(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−1)−2log⁡(x)x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((x2−1)−2log⁡(x)x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−1)−2log⁡(x)=x2−2log⁡(−x)−1\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = \sqrt{x^{2} - 2 \log{\left(- x \right)} - 1}
- No
(x2−1)−2log⁡(x)=−x2−2log⁡(−x)−1\sqrt{\left(x^{2} - 1\right) - 2 \log{\left(x \right)}} = - \sqrt{x^{2} - 2 \log{\left(- x \right)} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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