Sr Examen

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1/x+1/(1+x)
Trazado el gráfico de la función/ 1/x+1/(1+x)

Gráfico de la función y = 1/x+1/(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       1     1  
f(x) = - + -----
       x   1 + x
f(x)=1x+1+1xf{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} 
f = 1/(x + 1) + 1/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1x+1+1x=0\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/x + 1/(1 + x).
10+1−1\frac{1}{0} + 1^{-1}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1(x+1)2−1x2=0- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1(x+1)3+1x3)=02 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0

lim⁡x→−1−(2(1(x+1)3+1x3))=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(1(x+1)3+1x3))=∞\lim_{x \to -1^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→0−(2(1(x+1)3+1x3))=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(1(x+1)3+1x3))=∞\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=0x_{2} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(1x+1+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(1x+1+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/x + 1/(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x+1+1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x+1+1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1x+1+1x=11−x−1x\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{x}
- No
1x+1+1x=−11−x+1x\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} = - \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 1/x+1/(1+x)
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