Sr Examen
Gráfico de la función y = (5x^2+20x)/(2x+8)
Solución
Ha introducido
[src]
2
5*x + 20*x
f(x) = -----------
2*x + 8
$$f{\left(x \right)} = \frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8}$$
f = (5*x^2 + 20*x)/(2*x + 8)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = -4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 x + 20}{2 x + 8} - \frac{2 \left(5 x^{2} + 20 x\right)}{\left(2 x + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 x + 20}{2 x + 8} - \frac{2 \left(5 x^{2} + 20 x\right)}{\left(2 x + 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{5 \left(\frac{x}{x + 4} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x + 4} + 1\right)}{x + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{5 \left(\frac{x}{x + 4} - \frac{2 \left(x + 2\right)}{x + 4} + 1\right)}{x + 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{1} = -4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*x^2 + 20*x)/(2*x + 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{x \left(2 x + 8\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{5 x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{x \left(2 x + 8\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{5 x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{x \left(2 x + 8\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{5 x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x^{2} + 20 x}{x \left(2 x + 8\right)}\right) = \frac{5}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{5 x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = \frac{5 x^{2} - 20 x}{8 - 2 x}$$
- No
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = - \frac{5 x^{2} - 20 x}{8 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = \frac{5 x^{2} - 20 x}{8 - 2 x}$$
- No
$$\frac{5 x^{2} + 20 x}{2 x + 8} = - \frac{5 x^{2} - 20 x}{8 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar