Sr Examen
Gráfico de la función y = (x-2)/(x^2-x-12)
Solución
Ha introducido
[src]
x - 2
f(x) = -----------
2
x - x - 12
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12}$$
f = (x - 2)/(x^2 - x - 12)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(- \frac{2 \left(2 x + \left(x - 2\right) \left(\frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + x + 12} + 1\right) - 1\right)}{\left(- x^{2} + x + 12\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{50} + 2 + \sqrt[3]{20}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 2)/(x^2 - x - 12), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 2}{x \left(\left(x^{2} - x\right) - 12\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = \frac{- x - 2}{x^{2} + x - 12}$$
- No
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = - \frac{- x - 2}{x^{2} + x - 12}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = \frac{- x - 2}{x^{2} + x - 12}$$
- No
$$\frac{x - 2}{\left(x^{2} - x\right) - 12} = - \frac{- x - 2}{x^{2} + x - 12}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar