Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ |x|\x

Gráfico de la función y = |x|\x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x|
f(x) = ---
        x
f(x)=∣x∣xf{\left(x \right)} = \frac{\left|{x}\right|}{x} 
f = |x|/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x∣x=0\frac{\left|{x}\right|}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|/x.
∣0∣0\frac{\left|{0}\right|}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x)x−∣x∣x2=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} - \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34x_{1} = -34
x2=8x_{2} = 8
x3=−6x_{3} = -6
x4=−46x_{4} = -46
x5=−84x_{5} = -84
x6=36x_{6} = 36
x7=−74x_{7} = -74
x8=−10x_{8} = -10
x9=24x_{9} = 24
x10=72x_{10} = 72
x11=−44x_{11} = -44
x12=−94x_{12} = -94
x13=40x_{13} = 40
x14=62x_{14} = 62
x15=−26x_{15} = -26
x16=50x_{16} = 50
x17=42x_{17} = 42
x18=14x_{18} = 14
x19=20x_{19} = 20
x20=−52x_{20} = -52
x21=−54x_{21} = -54
x22=18x_{22} = 18
x23=−40x_{23} = -40
x24=32x_{24} = 32
x25=−80x_{25} = -80
x26=−20x_{26} = -20
x27=−28x_{27} = -28
x28=−64x_{28} = -64
x29=78x_{29} = 78
x30=−4x_{30} = -4
x31=16x_{31} = 16
x32=34x_{32} = 34
x33=−86x_{33} = -86
x34=96x_{34} = 96
x35=58x_{35} = 58
x36=−90x_{36} = -90
x37=74x_{37} = 74
x38=−100x_{38} = -100
x39=−8x_{39} = -8
x40=68x_{40} = 68
x41=48x_{41} = 48
x42=2x_{42} = 2
x43=−56x_{43} = -56
x44=88x_{44} = 88
x45=−22x_{45} = -22
x46=70x_{46} = 70
x47=28x_{47} = 28
x48=60x_{48} = 60
x49=−88x_{49} = -88
x50=−36x_{50} = -36
x51=54x_{51} = 54
x52=−78x_{52} = -78
x53=−60x_{53} = -60
x54=52x_{54} = 52
x55=84x_{55} = 84
x56=10x_{56} = 10
x57=−98x_{57} = -98
x58=6x_{58} = 6
x59=80x_{59} = 80
x60=−30x_{60} = -30
x61=−62x_{61} = -62
x62=56x_{62} = 56
x63=12x_{63} = 12
x64=−32x_{64} = -32
x65=−76x_{65} = -76
x66=44x_{66} = 44
x67=82x_{67} = 82
x68=−68x_{68} = -68
x69=−58x_{69} = -58
x70=30x_{70} = 30
x71=−24x_{71} = -24
x72=64x_{72} = 64
x73=22x_{73} = 22
x74=92x_{74} = 92
x75=−48x_{75} = -48
x76=100x_{76} = 100
x77=−70x_{77} = -70
x78=46x_{78} = 46
x79=−12x_{79} = -12
x80=−92x_{80} = -92
x81=−72x_{81} = -72
x82=26x_{82} = 26
x83=−42x_{83} = -42
x84=−82x_{84} = -82
x85=−50x_{85} = -50
x86=90x_{86} = 90
x87=86x_{87} = 86
x88=−16x_{88} = -16
x89=38x_{89} = 38
x90=4x_{90} = 4
x91=−96x_{91} = -96
x92=−14x_{92} = -14
x93=94x_{93} = 94
x94=98x_{94} = 98
x95=76x_{95} = 76
x96=−66x_{96} = -66
x97=−18x_{97} = -18
x98=66x_{98} = 66
x99=−38x_{99} = -38
x100=−2x_{100} = -2
Signos de extremos en los puntos:
(-34, -1)

(8, 1)

(-6, -1)

(-46, -1)

(-84, -1)

(36, 1)

(-74, -1)

(-10, -1)

(24, 1)

(72, 1)

(-44, -1)

(-94, -1)

(40, 1)

(62, 1)

(-26, -1)

(50, 1)

(42, 1)

(14, 1)

(20, 1)

(-52, -1)

(-54, -1)

(18, 1)

(-40, -1)

(32, 1)

(-80, -1)

(-20, -1)

(-28, -1)

(-64, -1)

(78, 1)

(-4, -1)

(16, 1)

(34, 1)

(-86, -1)

(96, 1)

(58, 1)

(-90, -1)

(74, 1)

(-100, -1)

(-8, -1)

(68, 1)

(48, 1)

(2, 1)

(-56, -1)

(88, 1)

(-22, -1)

(70, 1)

(28, 1)

(60, 1)

(-88, -1)

(-36, -1)

(54, 1)

(-78, -1)

(-60, -1)

(52, 1)

(84, 1)

(10, 1)

(-98, -1)

(6, 1)

(80, 1)

(-30, -1)

(-62, -1)

(56, 1)

(12, 1)

(-32, -1)

(-76, -1)

(44, 1)

(82, 1)

(-68, -1)

(-58, -1)

(30, 1)

(-24, -1)

(64, 1)

(22, 1)

(92, 1)

(-48, -1)

(100, 1)

(-70, -1)

(46, 1)

(-12, -1)

(-92, -1)

(-72, -1)

(26, 1)

(-42, -1)

(-82, -1)

(-50, -1)

(90, 1)

(86, 1)

(-16, -1)

(38, 1)

(4, 1)

(-96, -1)

(-14, -1)

(94, 1)

(98, 1)

(76, 1)

(-66, -1)

(-18, -1)

(66, 1)

(-38, -1)

(-2, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−30x_{1} = -30
Puntos máximos de la función:
x1=30x_{1} = 30
Decrece en los intervalos
[−30,30]\left[-30, 30\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−30]∪[30,∞)\left(-\infty, -30\right] \cup \left[30, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x)−sign⁡(x)x+∣x∣x2)x=0\frac{2 \left(\delta\left(x\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x} + \frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(∣x∣x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x∣x=−∣x∣x\frac{\left|{x}\right|}{x} = - \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
∣x∣x=∣x∣x\frac{\left|{x}\right|}{x} = \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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