Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-x)/sqrt(1+x^2)

Gráfico de la función y = (-x)/sqrt(1+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           -x     
f(x) = -----------
          ________
         /      2 
       \/  1 + x
f(x)=(−1)xx2+1f{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}} 
f = (-x)/sqrt(x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−1)xx2+1=0\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x)/sqrt(1 + x^2).
(−1)002+1\frac{\left(-1\right) 0}{\sqrt{0^{2} + 1}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2(x2+1)32−1x2+1=0\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(−3x2x2+1+3)(x2+1)32=0\frac{x \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} + 3\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−1)xx2+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((−1)xx2+1)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x)/sqrt(1 + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−1x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−1x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−1)xx2+1=xx2+1\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- No
(−1)xx2+1=−xx2+1\frac{\left(-1\right) x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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