Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
((1-x)/(1+x))^(1/3)
-
1/x^2-1/(x-1)^3
-
-1/(x-1)^2-1/x^2
-
(1+√x)/(1-√x)
-
Expresiones idénticas
- y=((x- tres)^ dos *(dos x+ tres))/((x- uno)^ dos *(x-2))
- y es igual a ((x menos 3) al cuadrado multiplicar por (2x más 3)) dividir por ((x menos 1) al cuadrado multiplicar por (x menos 2))
- y es igual a ((x menos tres) en el grado dos multiplicar por (dos x más tres)) dividir por ((x menos uno) en el grado dos multiplicar por (x menos 2))
- y=((x-3)2*(2x+3))/((x-1)2*(x-2))
- y=x-32*2x+3/x-12*x-2
- y=((x-3)²*(2x+3))/((x-1)²*(x-2))
- y=((x-3) en el grado 2*(2x+3))/((x-1) en el grado 2*(x-2))
- y=((x-3)^2(2x+3))/((x-1)^2(x-2))
- y=((x-3)2(2x+3))/((x-1)2(x-2))
- y=x-322x+3/x-12x-2
- y=x-3^22x+3/x-1^2x-2
- y=((x-3)^2*(2x+3)) dividir por ((x-1)^2*(x-2))
-
Expresiones semejantes
- y=((x-3)^2*(2x-3))/((x-1)^2*(x-2))
- y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x+2))
- y=((x-3)^2*(2x+3))/((x+1)^2*(x-2))
- y=((x+3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))
Gráfico de la función y = y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x - 3) *(2*x + 3)
f(x) = ------------------
2
(x - 1) *(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}$$
f = ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 2)*(x - 1)^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{2} = 2.99999991819211$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
$$x_{2} = 2.99999991819211$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- \left(x - 2\right) \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -12 + 3 \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - 3 \sqrt{21} - 12$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -12 + 3 \sqrt{21}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -12 + 3 \sqrt{21}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-12 + 3 \sqrt{21}, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- \left(x - 2\right) \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -12 + 3 \sqrt{21}$$
$$x_{3} = - 3 \sqrt{21} - 12$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)
2
/ ____\ / ____\
____ \-15 + 3*\/ 21 / *\-21 + 6*\/ 21 /
(-12 + 3*\/ 21, ----------------------------------)
2
/ ____\ / ____\
\-14 + 3*\/ 21 /*\-13 + 3*\/ 21 / 2
/ ____\ / ____\
____ \-15 - 3*\/ 21 / *\-21 - 6*\/ 21 /
(-12 - 3*\/ 21, ----------------------------------)
2
/ ____\ / ____\
\-14 - 3*\/ 21 /*\-13 - 3*\/ 21 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -12 + 3 \sqrt{21}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -12 + 3 \sqrt{21}\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-12 + 3 \sqrt{21}, 3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(3 x - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(3 x - 5\right) \left(\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) + \frac{2 \left(3 x - 5\right)}{x - 1} - \frac{2 \left(3 x - 4\right)}{x - 1} + \frac{3 x - 5}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(3 x - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(3 x - 5\right) \left(\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) + \frac{2 \left(3 x - 5\right)}{x - 1} - \frac{2 \left(3 x - 4\right)}{x - 1} + \frac{3 x - 5}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^2*(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico