Sr Examen

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y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))
Trazado el gráfico de la función/ y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))

Gráfico de la función y = y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2          
       (x - 3) *(2*x + 3)
f(x) = ------------------
               2         
        (x - 1) *(x - 2)
f(x)=(x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} 
f = ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 2)*(x - 1)^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2=0\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=−1.5x_{1} = -1.5
x2=2.99999991819211x_{2} = 2.99999991819211
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^2*(x - 2))).
(−3)2(0⋅2+3)(−2)(−1)2\frac{\left(-3\right)^{2} \left(0 \cdot 2 + 3\right)}{\left(-2\right) \left(-1\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−272f{\left(0 \right)} = - \frac{27}{2}
Punto:
(0, -27/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1(x−2)(x−1)2(2(x−3)2+(2x−6)(2x+3))+(x−3)2(2x+3)(−(x−2)(2x−2)−(x−1)2)(x−2)2(x−1)4=0\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(2 \left(x - 3\right)^{2} + \left(2 x - 6\right) \left(2 x + 3\right)\right) + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(- \left(x - 2\right) \left(2 x - 2\right) - \left(x - 1\right)^{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3x_{1} = 3
x2=−12+321x_{2} = -12 + 3 \sqrt{21}
x3=−321−12x_{3} = - 3 \sqrt{21} - 12
Signos de extremos en los puntos:
(3, 0)

                                 2                  
                 /          ____\  /          ____\ 
           ____  \-15 + 3*\/ 21 / *\-21 + 6*\/ 21 / 
(-12 + 3*\/ 21, ----------------------------------)
                                                  2 
                 /          ____\ /          ____\  
                 \-14 + 3*\/ 21 /*\-13 + 3*\/ 21 /  

                                 2                  
                 /          ____\  /          ____\ 
           ____  \-15 - 3*\/ 21 / *\-21 - 6*\/ 21 / 
(-12 - 3*\/ 21, ----------------------------------)
                                                  2 
                 /          ____\ /          ____\  
                 \-14 - 3*\/ 21 /*\-13 - 3*\/ 21 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=−12+321x_{1} = -12 + 3 \sqrt{21}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12+321]∪[3,∞)\left(-\infty, -12 + 3 \sqrt{21}\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−12+321,3]\left[-12 + 3 \sqrt{21}, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−12x(x−3)(3x−5)(x−2)(x−1)+12x+(x−3)2(2x+3)((3x−5)(2x−1+1x−2)+2(3x−5)x−1−2(3x−4)x−1+3x−5x−2)(x−2)(x−1)−18(x−2)(x−1)2=0\frac{- \frac{12 x \left(x - 3\right) \left(3 x - 5\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + 12 x + \frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right) \left(\left(3 x - 5\right) \left(\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) + \frac{2 \left(3 x - 5\right)}{x - 1} - \frac{2 \left(3 x - 4\right)}{x - 1} + \frac{3 x - 5}{x - 2}\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} - 18}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞((x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2)=2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 3)^2*(2*x + 3))/(((x - 1)^2*(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−2)(x−1)2(x−3)2(2x+3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−2)(x−1)2(x−3)2(2x+3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} \left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2=(3−2x)(−x−3)2(−x−2)(−x−1)2\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
(x−3)2(2x+3)(x−2)(x−1)2=−(3−2x)(−x−3)2(−x−2)(−x−1)2\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - 2 x\right) \left(- x - 3\right)^{2}}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=((x-3)^2*(2x+3))/((x-1)^2*(x-2))
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