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x^3+15*x^2+62*x+72
Trazado el gráfico de la función/ x^3+15*x^2+62*x+72

Gráfico de la función y = x^3+15*x^2+62*x+72

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2            
f(x) = x  + 15*x  + 62*x + 72
f(x)=(62x+(x3+15x2))+72f{\left(x \right)} = \left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72 
f = 62*x + x^3 + 15*x^2 + 72
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(62x+(x3+15x2))+72=0\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−9x_{1} = -9
x2=−4x_{2} = -4
x3=−2x_{3} = -2
Solución numérica
x1=−4x_{1} = -4
x2=−2x_{2} = -2
x3=−9x_{3} = -9
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 + 15*x^2 + 62*x + 72.
((03+15⋅02)+0⋅62)+72\left(\left(0^{3} + 15 \cdot 0^{2}\right) + 0 \cdot 62\right) + 72
Resultado:
f(0)=72f{\left(0 \right)} = 72
Punto:
(0, 72)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2+30x+62=03 x^{2} + 30 x + 62 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5−393x_{1} = -5 - \frac{\sqrt{39}}{3}
x2=−5+393x_{2} = -5 + \frac{\sqrt{39}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                                  3                   2             
        ____         /       ____\       /       ____\         ____ 
      \/ 39          |     \/ 39 |       |     \/ 39 |    62*\/ 39  
(-5 - ------, -238 + |-5 - ------|  + 15*|-5 - ------|  - ---------)
        3            \       3   /       \       3   /        3     

                                  3                   2             
        ____         /       ____\       /       ____\         ____ 
      \/ 39          |     \/ 39 |       |     \/ 39 |    62*\/ 39  
(-5 + ------, -238 + |-5 + ------|  + 15*|-5 + ------|  + ---------)
        3            \       3   /       \       3   /        3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5+393x_{1} = -5 + \frac{\sqrt{39}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−5−393x_{1} = -5 - \frac{\sqrt{39}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−5−393]∪[−5+393,∞)\left(-\infty, -5 - \frac{\sqrt{39}}{3}\right] \cup \left[-5 + \frac{\sqrt{39}}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−5−393,−5+393]\left[-5 - \frac{\sqrt{39}}{3}, -5 + \frac{\sqrt{39}}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x+5)=06 \left(x + 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5x_{1} = -5

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−5,∞)\left[-5, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−5]\left(-\infty, -5\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((62x+(x3+15x2))+72)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((62x+(x3+15x2))+72)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 + 15*x^2 + 62*x + 72, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((62x+(x3+15x2))+72x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((62x+(x3+15x2))+72x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(62x+(x3+15x2))+72=−x3+15x2−62x+72\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72 = - x^{3} + 15 x^{2} - 62 x + 72
- No
(62x+(x3+15x2))+72=x3−15x2+62x−72\left(62 x + \left(x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) + 72 = x^{3} - 15 x^{2} + 62 x - 72
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3+15*x^2+62*x+72
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