Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (9x^2-4x-5)/(2x-6)

Gráfico de la función y = (9x^2-4x-5)/(2x-6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       9*x  - 4*x - 5
f(x) = --------------
          2*x - 6
f(x)=(9x2−4x)−52x−6f{\left(x \right)} = \frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6} 
f = (9*x^2 - 4*x - 5)/(2*x - 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(9x2−4x)−52x−6=0\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−59x_{1} = - \frac{5}{9}
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−0.555555555555556x_{2} = -0.555555555555556
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (9*x^2 - 4*x - 5)/(2*x - 6).
−5+(9⋅02−0)−6+0⋅2\frac{-5 + \left(9 \cdot 0^{2} - 0\right)}{-6 + 0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=56f{\left(0 \right)} = \frac{5}{6}
Punto:
(0, 5/6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
18x−42x−6−2((9x2−4x)−5)(2x−6)2=0\frac{18 x - 4}{2 x - 6} - \frac{2 \left(\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5\right)}{\left(2 x - 6\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
x2=173x_{2} = \frac{17}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 1)

(17/3, 49)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=173x_{1} = \frac{17}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13]∪[173,∞)\left(-\infty, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{17}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[13,173]\left[\frac{1}{3}, \frac{17}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9−2(9x−2)x−3−−9x2+4x+5(x−3)2x−3=0\frac{9 - \frac{2 \left(9 x - 2\right)}{x - 3} - \frac{- 9 x^{2} + 4 x + 5}{\left(x - 3\right)^{2}}}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((9x2−4x)−52x−6)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((9x2−4x)−52x−6)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (9*x^2 - 4*x - 5)/(2*x - 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((9x2−4x)−5x(2x−6))=92\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{x \left(2 x - 6\right)}\right) = \frac{9}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=9x2y = \frac{9 x}{2}
lim⁡x→∞((9x2−4x)−5x(2x−6))=92\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{x \left(2 x - 6\right)}\right) = \frac{9}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=9x2y = \frac{9 x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(9x2−4x)−52x−6=9x2+4x−5−2x−6\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6} = \frac{9 x^{2} + 4 x - 5}{- 2 x - 6}
- No
(9x2−4x)−52x−6=−9x2+4x−5−2x−6\frac{\left(9 x^{2} - 4 x\right) - 5}{2 x - 6} = - \frac{9 x^{2} + 4 x - 5}{- 2 x - 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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