Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-18x+145)/(x-9)

Gráfico de la función y = (x^2-18x+145)/(x-9)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2             
       x  - 18*x + 145
f(x) = ---------------
            x - 9
f(x)=(x2−18x)+145x−9f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9} 
f = (x^2 - 18*x + 145)/(x - 9)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=9x_{1} = 9
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−18x)+145x−9=0\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 18*x + 145)/(x - 9).
(02−0)+145−9\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 145}{-9}
Resultado:
f(0)=−1459f{\left(0 \right)} = - \frac{145}{9}
Punto:
(0, -145/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−18x−9−(x2−18x)+145(x−9)2=0\frac{2 x - 18}{x - 9} - \frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{\left(x - 9\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
x2=17x_{2} = 17
Signos de extremos en los puntos:
(1, -16)

(17, 16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=17x_{1} = 17
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]∪[17,∞)\left(-\infty, 1\right] \cup \left[17, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1,17]\left[1, 17\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−1+x2−18x+145(x−9)2)x−9=0\frac{2 \left(-1 + \frac{x^{2} - 18 x + 145}{\left(x - 9\right)^{2}}\right)}{x - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=9x_{1} = 9
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−18x)+145x−9)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−18x)+145x−9)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 18*x + 145)/(x - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−18x)+145x(x−9))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x \left(x - 9\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2−18x)+145x(x−9))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x \left(x - 9\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−18x)+145x−9=x2+18x+145−x−9\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9} = \frac{x^{2} + 18 x + 145}{- x - 9}
- No
(x2−18x)+145x−9=−x2+18x+145−x−9\frac{\left(x^{2} - 18 x\right) + 145}{x - 9} = - \frac{x^{2} + 18 x + 145}{- x - 9}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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