Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
2+3*cos(4*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos x^ dos + catorce x-14)/(x^ dos -2x+2)
- ( menos 2x al cuadrado más 14x menos 14) dividir por (x al cuadrado menos 2x más 2)
- ( menos dos x en el grado dos más cotangente de angente de orce x menos 14) dividir por (x en el grado dos menos 2x más 2)
- (-2x2+14x-14)/(x2-2x+2)
- -2x2+14x-14/x2-2x+2
- (-2x²+14x-14)/(x²-2x+2)
- (-2x en el grado 2+14x-14)/(x en el grado 2-2x+2)
- -2x^2+14x-14/x^2-2x+2
- (-2x^2+14x-14) dividir por (x^2-2x+2)
-
Expresiones semejantes
- (-2x^2+14x-14)/(x^2-2x-2)
- (-2x^2-14x-14)/(x^2-2x+2)
- (-2x^2+14x-14)/(x^2+2x+2)
- (2x^2+14x-14)/(x^2-2x+2)
- (-2x^2+14x+14)/(x^2-2x+2)
Gráfico de la función y = (-2x^2+14x-14)/(x^2-2x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
2
- 2*x + 14*x - 14
f(x) = ------------------
2
x - 2*x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}$$
f = (-2*x^2 + 14*x - 14)/(x^2 - 2*x + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{7}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.20871215252208$$
$$x_{2} = 5.79128784747792$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{7}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.20871215252208$$
$$x_{2} = 5.79128784747792$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{14 - 4 x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{14 - 4 x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -7)
(2, 3)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, 2\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 7\right)}{x^{2} - 2 x + 2} - \frac{\left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} - 7 x + 7\right)}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{3}, 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1, 1 + \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\frac{2 \left(x - 1\right) \left(2 x - 7\right)}{x^{2} - 2 x + 2} - \frac{\left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} - 7 x + 7\right)}{x^{2} - 2 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 2 x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 1 + \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{3}, 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1, 1 + \sqrt{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\right) = -2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-2*x^2 + 14*x - 14)/(x^2 - 2*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{- 2 x^{2} - 14 x - 14}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{- 2 x^{2} - 14 x - 14}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = \frac{- 2 x^{2} - 14 x - 14}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x^{2} + 14 x\right) - 14}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2} = - \frac{- 2 x^{2} - 14 x - 14}{x^{2} + 2 x + 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar