Sr Examen

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Gráfico de la función y = x/(1+x+x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           x     
f(x) = ----------
                2
       1 + x + x 
f(x)=xx2+(x+1)f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)}
f = x/(x^2 + x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2+(x+1)=0\frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(1 + x + x^2).
002+1\frac{0}{0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(2x1)(x2+(x+1))2+1x2+(x+1)=0\frac{x \left(- 2 x - 1\right)}{\left(x^{2} + \left(x + 1\right)\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-1, -1)

(1, 1/3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = -1
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
[1,1]\left[-1, 1\right]
Crece en los intervalos
(,1][1,)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x((2x+1)2x2+x+11)2x1)(x2+x+1)2=0\frac{2 \left(x \left(\frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x^{2} + x + 1} - 1\right) - 2 x - 1\right)}{\left(x^{2} + x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=112+3i23+12+3i23x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2cos(π9),)\left[2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,2cos(π9)]\left(-\infty, 2 \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(xx2+(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limx(xx2+(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(1 + x + x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx1x2+(x+1)=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx1x2+(x+1)=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2+(x+1)=xx2x+1\frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = - \frac{x}{x^{2} - x + 1}
- No
xx2+(x+1)=xx2x+1\frac{x}{x^{2} + \left(x + 1\right)} = \frac{x}{x^{2} - x + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar