Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = sqrt(y^2+1)/y

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          ________
         /  2     
       \/  y  + 1 
f(y) = -----------
            y     
$$f{\left(y \right)} = \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y}$$
f = sqrt(y^2 + 1)/y
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$y_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje Y
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(y^2 + 1)/y.
$$\frac{\sqrt{0^{2} + 1}}{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\sqrt{y^{2} + 1}} - \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\frac{y^{2}}{y^{2} + 1} - 1}{\sqrt{y^{2} + 1}} - \frac{2}{\sqrt{y^{2} + 1}} + \frac{2 \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2}}}{y} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$y_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(y^2 + 1)/y, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y} = - \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y}$$
- No
$$\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y} = \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{y}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar