Sr Examen

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(cos(x))^3
Trazado el gráfico de la función/ (cos(x))^3

Gráfico de la función y = (cos(x))^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3   
f(x) = cos (x)
f(x)=cos⁡3(x)f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)} 
f = cos(x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡3(x)=0\cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Solución numérica
x1=1.57080273224359x_{1} = 1.57080273224359
x2=48.6945935926021x_{2} = 48.6945935926021
x3=14.1371748405436x_{3} = 14.1371748405436
x4=−61.2611644481175x_{4} = -61.2611644481175
x5=−83.2523004207065x_{5} = -83.2523004207065
x6=45.5531567451367x_{6} = 45.5531567451367
x7=92.6768935770301x_{7} = 92.6768935770301
x8=64.4026122770508x_{8} = 64.4026122770508
x9=−42.411405413931x_{9} = -42.411405413931
x10=4.71229368085888x_{10} = 4.71229368085888
x11=26.7034598912501x_{11} = 26.7034598912501
x12=−95.8185603030962x_{12} = -95.8185603030962
x13=−7.85396939058216x_{13} = -7.85396939058216
x14=95.818627417042x_{14} = 95.818627417042
x15=70.6858302611407x_{15} = 70.6858302611407
x16=89.5354940921686x_{16} = 89.5354940921686
x17=−39.2700061565569x_{17} = -39.2700061565569
x18=−89.5354410428862x_{18} = -89.5354410428862
x19=−83.2523059178598x_{19} = -83.2523059178598
x20=23.5620444336803x_{20} = 23.5620444336803
x21=23.5619763533234x_{21} = 23.5619763533234
x22=−29.8451152214988x_{22} = -29.8451152214988
x23=−1.57083925518957x_{23} = -1.57083925518957
x24=58.1194603256925x_{24} = 58.1194603256925
x25=−23.5619897288019x_{25} = -23.5619897288019
x26=−20.4202554438585x_{26} = -20.4202554438585
x27=73.8274768053124x_{27} = 73.8274768053124
x28=−17.2788562472482x_{28} = -17.2788562472482
x29=67.5443442271897x_{29} = 67.5443442271897
x30=92.6770059000324x_{30} = 92.6770059000324
x31=48.6946439323886x_{31} = 48.6946439323886
x32=−61.2611560468397x_{32} = -61.2611560468397
x33=45.553194340988x_{33} = 45.553194340988
x34=42.4114617473496x_{34} = 42.4114617473496
x35=−64.4025554047934x_{35} = -64.4025554047934
x36=67.5443333859623x_{36} = 67.5443333859623
x37=4.71228651848371x_{37} = 4.71228651848371
x38=29.8451754771722x_{38} = 29.8451754771722
x39=70.6857435758276x_{39} = 70.6857435758276
x40=−67.5442906223714x_{40} = -67.5442906223714
x41=−36.1282768063468x_{41} = -36.1282768063468
x42=−58.1194276545353x_{42} = -58.1194276545353
x43=51.8363261592826x_{43} = 51.8363261592826
x44=7.85402475701276x_{44} = 7.85402475701276
x45=−51.8362625267018x_{45} = -51.8362625267018
x46=36.128317789764x_{46} = 36.128317789764
x47=26.7034436275456x_{47} = 26.7034436275456
x48=1.5708945053691x_{48} = 1.5708945053691
x49=−80.1105785507599x_{49} = -80.1105785507599
x50=−42.4114638604687x_{50} = -42.4114638604687
x51=80.1106035284868x_{51} = 80.1106035284868
x52=−86.3937054164085x_{52} = -86.3937054164085
x53=−45.5531401844306x_{53} = -45.5531401844306
x54=86.3937628262857x_{54} = 86.3937628262857
x55=−92.6770895717702x_{55} = -92.6770895717702
x56=−14.1371260033657x_{56} = -14.1371260033657
x57=20.4203112367381x_{57} = 20.4203112367381
x58=−73.827410994311x_{58} = -73.827410994311
x59=−20.4203505482106x_{59} = -20.4203505482106
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x)^3.
cos⁡3(0)\cos^{3}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)cos⁡2(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x3=0x_{3} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(2sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡(x)=03 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(5−26)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x4=2atan⁡(5−26)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} \right)}
x5=−2atan⁡(26+5)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}
x6=2atan⁡(26+5)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(26+5),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡3(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡3(x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡3(x)=cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}
- Sí
cos⁡3(x)=−cos⁡3(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = - \cos^{3}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (cos(x))^3
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