Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{3 x \left(- \frac{3 x^{3}}{4 \left(x^{3} - 1\right)} + 1\right)}{\sqrt{x^{3} - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2^{\frac{2}{3}}\right]$$