Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ acos(-1/log(cos(x)))

Gráfico de la función y = acos(-1/log(cos(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /    -1     \
f(x) = acos|-----------|
           \log(cos(x))/
f(x)=acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} 
f = acos(-1/log(cos(x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))=0\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(e−1)+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(e^{-1} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(e−1)x_{2} = \operatorname{acos}{\left(e^{-1} \right)}
Solución numérica
x1=5.08911648844327x_{1} = 5.08911648844327
x2=1.19406881873632x_{2} = 1.19406881873632
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(-1/log(cos(x))).
acos⁡(−1log⁡(cos⁡(0)))\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(x)1−1log⁡(cos⁡(x))2log⁡(cos⁡(x))2cos⁡(x)=0\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2}}} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}^{2} \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
     pi          /1 \ 
(pi, -- - I*asinh|--|)
     2           \pi/


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
Decrece en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Crece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))=acos⁡(−1log⁡(⟨−1,1⟩))\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=acos⁡(−1log⁡(⟨−1,1⟩))y = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}} \right)}
lim⁡x→∞acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))=acos⁡(−1log⁡(⟨−1,1⟩))\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=acos⁡(−1log⁡(⟨−1,1⟩))y = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(-1/log(cos(x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))=acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}
- Sí
acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))=−acos⁡(−1log⁡(cos⁡(x)))\operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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