Sr Examen

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Gráfico de la función y = acos(x−3)/(|x−3|)+5/((ln|x|)^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       acos(x - 3)         5      
f(x) = ----------- + -------------
         |x - 3|        2         
                     log (|x|) + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}$$
f = acos(x - 3)/|x - 3| + 5/(log(|x|)^2 + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x - 3)/|x - 3| + 5/(log(|x|)^2 + 1).
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{\left|{-3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{0}\right| \right)}^{2} + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(-3 \right)}}{3}$$
Punto:
(0, acos(-3)/3)
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x - 3)/|x - 3| + 5/(log(|x|)^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 3 \right)}}{\left|{x - 3}\right|} + \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 3 \right)}}{\left|{x + 3}\right|} - \frac{5}{\log{\left(\left|{x}\right| \right)}^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar