Sr Examen

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|x-3|/(x-3)
Trazado el gráfico de la función/ |x-3|/(x-3)

Gráfico de la función y = |x-3|/(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x - 3|
f(x) = -------
        x - 3
f(x)=∣x−3∣x−3f{\left(x \right)} = \frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3} 
f = |x - 3|/(x - 3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
∣x−3∣x−3=0\frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 3|/(x - 3).
∣−3∣−3\frac{\left|{-3}\right|}{-3}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x−3)x−3−∣x−3∣(x−3)2=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{x - 3} - \frac{\left|{x - 3}\right|}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=28x_{1} = 28
x2=−22x_{2} = -22
x3=−54x_{3} = -54
x4=−32x_{4} = -32
x5=−38x_{5} = -38
x6=32x_{6} = 32
x7=82x_{7} = 82
x8=76x_{8} = 76
x9=−58x_{9} = -58
x10=−86x_{10} = -86
x11=−50x_{11} = -50
x12=86x_{12} = 86
x13=80x_{13} = 80
x14=−64x_{14} = -64
x15=−100x_{15} = -100
x16=36x_{16} = 36
x17=−12x_{17} = -12
x18=38x_{18} = 38
x19=−20x_{19} = -20
x20=−8x_{20} = -8
x21=−10x_{21} = -10
x22=−44x_{22} = -44
x23=66x_{23} = 66
x24=−62x_{24} = -62
x25=−46x_{25} = -46
x26=−48x_{26} = -48
x27=50x_{27} = 50
x28=−74x_{28} = -74
x29=4x_{29} = 4
x30=98x_{30} = 98
x31=−2x_{31} = -2
x32=−66x_{32} = -66
x33=2x_{33} = 2
x34=−28x_{34} = -28
x35=78x_{35} = 78
x36=−92x_{36} = -92
x37=20x_{37} = 20
x38=54x_{38} = 54
x39=40x_{39} = 40
x40=−40x_{40} = -40
x41=90x_{41} = 90
x42=74x_{42} = 74
x43=10x_{43} = 10
x44=−76x_{44} = -76
x45=60x_{45} = 60
x46=−18x_{46} = -18
x47=−98x_{47} = -98
x48=−36x_{48} = -36
x49=58x_{49} = 58
x50=−30x_{50} = -30
x51=34x_{51} = 34
x52=18x_{52} = 18
x53=−60x_{53} = -60
x54=70x_{54} = 70
x55=14x_{55} = 14
x56=30x_{56} = 30
x57=24x_{57} = 24
x58=64x_{58} = 64
x59=−84x_{59} = -84
x60=26x_{60} = 26
x61=84x_{61} = 84
x62=52x_{62} = 52
x63=56x_{63} = 56
x64=68x_{64} = 68
x65=44x_{65} = 44
x66=94x_{66} = 94
x67=96x_{67} = 96
x68=0x_{68} = 0
x69=−26x_{69} = -26
x70=48x_{70} = 48
x71=−14x_{71} = -14
x72=−78x_{72} = -78
x73=6x_{73} = 6
x74=−90x_{74} = -90
x75=16x_{75} = 16
x76=−82x_{76} = -82
x77=92x_{77} = 92
x78=−34x_{78} = -34
x79=42x_{79} = 42
x80=−4x_{80} = -4
x81=−56x_{81} = -56
x82=72x_{82} = 72
x83=−72x_{83} = -72
x84=−52x_{84} = -52
x85=−16x_{85} = -16
x86=−42x_{86} = -42
x87=−6x_{87} = -6
x88=8x_{88} = 8
x89=−24x_{89} = -24
x90=−68x_{90} = -68
x91=88x_{91} = 88
x92=−94x_{92} = -94
x93=46x_{93} = 46
x94=−88x_{94} = -88
x95=22x_{95} = 22
x96=−96x_{96} = -96
x97=−70x_{97} = -70
x98=−80x_{98} = -80
x99=100x_{99} = 100
x100=12x_{100} = 12
x101=62x_{101} = 62
Signos de extremos en los puntos:
(28, 1)

(-22, -1)

(-54, -1)

(-32, -1)

(-38, -1)

(32, 1)

(82, 1)

(76, 1)

(-58, -1)

(-86, -1)

(-50, -1)

(86, 1)

(80, 1)

(-64, -1)

(-100, -1)

(36, 1)

(-12, -1)

(38, 1)

(-20, -1)

(-8, -1)

(-10, -1)

(-44, -1)

(66, 1)

(-62, -1)

(-46, -1)

(-48, -1)

(50, 1)

(-74, -1)

(4, 1)

(98, 1)

(-2, -1)

(-66, -1)

(2, -1)

(-28, -1)

(78, 1)

(-92, -1)

(20, 1)

(54, 1)

(40, 1)

(-40, -1)

(90, 1)

(74, 1)

(10, 1)

(-76, -1)

(60, 1)

(-18, -1)

(-98, -1)

(-36, -1)

(58, 1)

(-30, -1)

(34, 1)

(18, 1)

(-60, -1)

(70, 1)

(14, 1)

(30, 1)

(24, 1)

(64, 1)

(-84, -1)

(26, 1)

(84, 1)

(52, 1)

(56, 1)

(68, 1)

(44, 1)

(94, 1)

(96, 1)

(0, -1)

(-26, -1)

(48, 1)

(-14, -1)

(-78, -1)

(6, 1)

(-90, -1)

(16, 1)

(-82, -1)

(92, 1)

(-34, -1)

(42, 1)

(-4, -1)

(-56, -1)

(72, 1)

(-72, -1)

(-52, -1)

(-16, -1)

(-42, -1)

(-6, -1)

(8, 1)

(-24, -1)

(-68, -1)

(88, 1)

(-94, -1)

(46, 1)

(-88, -1)

(22, 1)

(-96, -1)

(-70, -1)

(-80, -1)

(100, 1)

(12, 1)

(62, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−28x_{1} = -28
x2=−60x_{2} = -60
x3=−84x_{3} = -84
x4=52x_{4} = 52
Puntos máximos de la función:
x4=66x_{4} = 66
x4=−46x_{4} = -46
x4=90x_{4} = 90
Decrece en los intervalos
[52,∞)\left[52, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−84]\left(-\infty, -84\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x−3)−sign⁡(x−3)x−3+∣x−3∣(x−3)2)x−3=0\frac{2 \left(\delta\left(x - 3\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x - 3 \right)}}{x - 3} + \frac{\left|{x - 3}\right|}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{x - 3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(∣x−3∣x−3)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(∣x−3∣x−3)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 3|/(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x−3∣x(x−3))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x−3∣x(x−3))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x - 3}\right|}{x \left(x - 3\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
∣x−3∣x−3=∣x+3∣−x−3\frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3} = \frac{\left|{x + 3}\right|}{- x - 3}
- No
∣x−3∣x−3=−∣x+3∣−x−3\frac{\left|{x - 3}\right|}{x - 3} = - \frac{\left|{x + 3}\right|}{- x - 3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = |x-3|/(x-3)
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