Gráfico de la función y = acos(x)/(x^2-pi/4)

Ha introducido [src]

       acos(x)
f(x) = -------
        2   pi
       x  - --
            4

f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}

f = acos(x)/(x^2 - pi/4)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = -0.886226925452758

x_{2} = 0.886226925452758

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = 1

Solución numérica

x_{1} = 1

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x)/(x^2 - pi/4).

\frac{\operatorname{acos}{\left(0 \right)}}{- \frac{\pi}{4} + 0^{2}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = -2

Punto:

(0, -2)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

primera derivada

- \frac{2 x \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 0.286723089003001

x_{2} = 54401.3001485311

x_{3} = 25893.1952885801

x_{4} = 42855.7937144103

x_{5} = 50211.3347773049

x_{6} = 28028.4191271389

x_{7} = 32284.2050551869

x_{8} = 29094.1075178569

x_{9} = 30158.5977992834

x_{10} = 48112.9219456125

x_{11} = 26961.4709469126

x_{12} = 34405.6396713451

x_{13} = 40748.0796499256

x_{14} = 39693.0875453969

x_{15} = 36523.2415021615

x_{16} = 38637.3033072683

x_{17} = 52307.4204570503

x_{18} = 44960.6426129852

x_{19} = 37580.6981909261

x_{20} = 41802.3065901391

x_{21} = 35464.9003998045

x_{22} = 31221.9463862449

x_{23} = 46012.0481428697

x_{24} = 33345.4214768156

x_{25} = 43908.5648874943

x_{26} = 51259.6606627983

x_{27} = 47062.8015758186

x_{28} = 49162.4273008985

x_{29} = 53354.6289254772

Signos de extremos en los puntos:

                          1.27999177531284    
(0.28672308900300064, -----------------------)
                                           pi 
                      0.0822101297674226 - -- 
                                           4

                      11.5972905128231*I  
(54401.30014853106, ---------------------)
                                       pi 
                    2959501457.85057 - -- 
                                       4

                       10.8548826631844*I  
(25893.195288580147, ---------------------)
                                        pi 
                     670457562.252549 - -- 
                                        4

                       11.3587433045143*I  
(42855.793714410305, ---------------------)
                                        pi 
                     1836619054.89209 - -- 
                                        4

                       11.5171432530299*I  
(50211.334777304866, ---------------------)
                                        pi 
                     2521178140.11859 - -- 
                                        4

                       10.9341214234928*I  
(28028.419127138866, ---------------------)
                                        pi 
                     785592278.766564 - -- 
                                        4

                       11.0754805623483*I  
(32284.205055186863, ---------------------)
                                        pi 
                     1042269896.04535 - -- 
                                        4

                       10.9714381221249*I  
(29094.107517856857, ---------------------)
                                        pi 
                     846467092.260615 - -- 
                                        4

                        11.00737250926*I   
(30158.597799283412, ---------------------)
                                        pi 
                     909541021.218942 - -- 
                                        4

                     11.4744532479844*I  
(48112.92194561252, --------------------)
                                      pi 
                    2314853258.1446 - -- 
                                      4

                       10.8953113040993*I  
(26961.470946912636, ---------------------)
                                        pi 
                     726920915.621214 - -- 
                                        4

                      11.1391229542074*I  
(34405.63967134506, ---------------------)
                                       pi 
                    1183748041.19443 - -- 
                                       4

                      11.3083111728128*I  
(40748.07964992563, ---------------------)
                                       pi 
                    1660405995.15668 - -- 
                                       4

                       11.282079514672*I   
(39693.087545396855, ---------------------)
                                        pi 
                     1575541198.88654 - -- 
                                        4

                      11.1988512707855*I  
(36523.24150216149, ---------------------)
                                       pi 
                    1333947169.82521 - -- 
                                       4

                      11.2551206760989*I  
(38637.30330726833, ---------------------)
                                       pi 
                    1492841206.85785 - -- 
                                       4

                      11.5580407030012*I  
(52307.42045705033, ---------------------)
                                       pi 
                    2736066234.87065 - -- 
                                       4

                     11.4066899578951*I  
(44960.6426129852, ---------------------)
                                      pi 
                   2021459384.17258 - -- 
                                      4

                       11.2273930319677*I  
(37580.698190926116, ---------------------)
                                        pi 
                     1412308876.51748 - -- 
                                        4

                      11.3338539789896*I  
(41802.30659013909, ---------------------)
                                       pi 
                    1747432836.25599 - -- 
                                       4

                       11.1694459455853*I  
(35464.900399804465, ---------------------)
                                        pi 
                     1257759160.36805 - -- 
                                        4

                       11.0420237166399*I  
(31221.946386244865, ---------------------)
                                        pi 
                     974809936.145549 - -- 
                                        4

                      11.4298057377684*I  
(46012.04814286972, ---------------------)
                                       pi 
                    2117108574.30176 - -- 
                                       4

                      11.1078229352021*I  
(33345.42147681561, ---------------------)
                                       pi 
                    1111917133.46648 - -- 
                                       4

                     11.3830118604069*I  
(43908.56488749434, --------------------)
                                      pi 
                    1927962070.4793 - -- 
                                      4

                      11.537806560439*I   
(51259.66066279826, ---------------------)
                                       pi 
                    2627552811.26523 - -- 
                                       4

                      11.4523853729543*I  
(47062.80157581863, ---------------------)
                                       pi 
                    2214907292.16488 - -- 
                                       4

                      11.4960321184444*I  
(49162.42730089854, ---------------------)
                                       pi 
                    2416944258.11613 - -- 
                                       4

                       11.5778631986767*I  
(53354.628925477205, ---------------------)
                                        pi 
                     2846716427.77537 - -- 
                                        4

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:

x_{29} = 0.286723089003001

Decrece en los intervalos

\left(-\infty, 0.286723089003001\right]

Crece en los intervalos

\left[0.286723089003001, \infty\right)

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

segunda derivada

\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi} = 0

Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación

x_{1} = 6611.11450768861

x_{2} = 7119.27916465511

x_{3} = 7880.04472299826

x_{4} = 5592.02270333959

x_{5} = 11663.4000963191

x_{6} = 8386.33368870474

x_{7} = 3538.87410033858

x_{8} = 9397.0282946683

x_{9} = 4824.82376811952

x_{10} = 6102.06310938474

x_{11} = 4054.53230327321

x_{12} = 3021.08116145156

x_{13} = 5336.59341967267

x_{14} = 4568.43882375578

x_{15} = 8133.27298795849

x_{16} = 8891.97877514491

x_{17} = 9901.5243692417

x_{18} = 7373.05596443826

x_{19} = 11160.5758616752

x_{20} = 6865.30203342413

x_{21} = 2761.21677588913

x_{22} = 8639.23353753662

x_{23} = 5847.17376088437

x_{24} = 12416.863015526

x_{25} = 5080.86739923716

x_{26} = 12667.8221245804

x_{27} = 4311.68544110467

x_{28} = 6356.70556961525

x_{29} = 11412.0415014782

x_{30} = 3280.27440361959

x_{31} = 10153.5766075849

x_{32} = 2500.58283369222

x_{33} = 11914.6546607717

x_{34} = 12165.8080590305

x_{35} = 3796.94288728796

x_{36} = 10909.0000002601

x_{37} = 9144.57521712702

x_{38} = 7626.6416564936

x_{39} = 12918.6878592079

x_{40} = 10405.50401673

x_{41} = 9649.34309026885

x_{42} = 10657.31056559

Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:

x_{1} = -0.886226925452758

x_{2} = 0.886226925452758

\lim_{x \to -0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}

\lim_{x \to -0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}

- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

\lim_{x \to 0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}

\lim_{x \to 0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}

- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = -0.886226925452758

x_{2} = 0.886226925452758

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 0

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 0

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x)/(x^2 - pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}

- No

\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = acos(x)/(x^2-pi/4)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución