Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
x^3/(x^2-1)
-
x^3-3*x
-
-x^2
-
Expresiones idénticas
- acos(x)/(x^ dos -pi/ cuatro)
- arco coseno de eno de (x) dividir por (x al cuadrado menos número pi dividir por 4)
- arco coseno de eno de (x) dividir por (x en el grado dos menos número pi dividir por cuatro)
- acos(x)/(x2-pi/4)
- acosx/x2-pi/4
- acos(x)/(x²-pi/4)
- acos(x)/(x en el grado 2-pi/4)
- acosx/x^2-pi/4
- acos(x) dividir por (x^2-pi dividir por 4)
-
Expresiones semejantes
- acos(x)/(x^2+pi/4)
- arccos(x)/(x^2-pi/4)
- arccosx/(x^2-pi/4)
-
Expresiones con funciones
- Arcocoseno arccos
- acosh(x)
- acos(-exp(x*(1-x)))
- acos(6*x)
- acos(x)^2
- acos(x−3)/(|x−3|)+5/((ln|x|)^2+1)
- Número Pi pi
- pi-x-cos(x)-sin(x)
- pi+asin(x^2-1/(3*x))
- pi^2-x^3
- pi*cos((x/2)-(pi/8))
- pi+asin(x)
Gráfico de la función y = acos(x)/(x^2-pi/4)
Solución
Ha introducido
[src]
acos(x)
f(x) = -------
2 pi
x - --
4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}$$
f = acos(x)/(x^2 - pi/4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.286723089003001$$
$$x_{2} = 54401.3001485311$$
$$x_{3} = 25893.1952885801$$
$$x_{4} = 42855.7937144103$$
$$x_{5} = 50211.3347773049$$
$$x_{6} = 28028.4191271389$$
$$x_{7} = 32284.2050551869$$
$$x_{8} = 29094.1075178569$$
$$x_{9} = 30158.5977992834$$
$$x_{10} = 48112.9219456125$$
$$x_{11} = 26961.4709469126$$
$$x_{12} = 34405.6396713451$$
$$x_{13} = 40748.0796499256$$
$$x_{14} = 39693.0875453969$$
$$x_{15} = 36523.2415021615$$
$$x_{16} = 38637.3033072683$$
$$x_{17} = 52307.4204570503$$
$$x_{18} = 44960.6426129852$$
$$x_{19} = 37580.6981909261$$
$$x_{20} = 41802.3065901391$$
$$x_{21} = 35464.9003998045$$
$$x_{22} = 31221.9463862449$$
$$x_{23} = 46012.0481428697$$
$$x_{24} = 33345.4214768156$$
$$x_{25} = 43908.5648874943$$
$$x_{26} = 51259.6606627983$$
$$x_{27} = 47062.8015758186$$
$$x_{28} = 49162.4273008985$$
$$x_{29} = 53354.6289254772$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{29} = 0.286723089003001$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.286723089003001\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0.286723089003001, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{\left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.286723089003001$$
$$x_{2} = 54401.3001485311$$
$$x_{3} = 25893.1952885801$$
$$x_{4} = 42855.7937144103$$
$$x_{5} = 50211.3347773049$$
$$x_{6} = 28028.4191271389$$
$$x_{7} = 32284.2050551869$$
$$x_{8} = 29094.1075178569$$
$$x_{9} = 30158.5977992834$$
$$x_{10} = 48112.9219456125$$
$$x_{11} = 26961.4709469126$$
$$x_{12} = 34405.6396713451$$
$$x_{13} = 40748.0796499256$$
$$x_{14} = 39693.0875453969$$
$$x_{15} = 36523.2415021615$$
$$x_{16} = 38637.3033072683$$
$$x_{17} = 52307.4204570503$$
$$x_{18} = 44960.6426129852$$
$$x_{19} = 37580.6981909261$$
$$x_{20} = 41802.3065901391$$
$$x_{21} = 35464.9003998045$$
$$x_{22} = 31221.9463862449$$
$$x_{23} = 46012.0481428697$$
$$x_{24} = 33345.4214768156$$
$$x_{25} = 43908.5648874943$$
$$x_{26} = 51259.6606627983$$
$$x_{27} = 47062.8015758186$$
$$x_{28} = 49162.4273008985$$
$$x_{29} = 53354.6289254772$$
Signos de extremos en los puntos:
1.27999177531284
(0.28672308900300064, -----------------------)
pi
0.0822101297674226 - --
4 11.5972905128231*I
(54401.30014853106, ---------------------)
pi
2959501457.85057 - --
4 10.8548826631844*I
(25893.195288580147, ---------------------)
pi
670457562.252549 - --
4 11.3587433045143*I
(42855.793714410305, ---------------------)
pi
1836619054.89209 - --
4 11.5171432530299*I
(50211.334777304866, ---------------------)
pi
2521178140.11859 - --
4 10.9341214234928*I
(28028.419127138866, ---------------------)
pi
785592278.766564 - --
4 11.0754805623483*I
(32284.205055186863, ---------------------)
pi
1042269896.04535 - --
4 10.9714381221249*I
(29094.107517856857, ---------------------)
pi
846467092.260615 - --
4 11.00737250926*I
(30158.597799283412, ---------------------)
pi
909541021.218942 - --
4 11.4744532479844*I
(48112.92194561252, --------------------)
pi
2314853258.1446 - --
4 10.8953113040993*I
(26961.470946912636, ---------------------)
pi
726920915.621214 - --
4 11.1391229542074*I
(34405.63967134506, ---------------------)
pi
1183748041.19443 - --
4 11.3083111728128*I
(40748.07964992563, ---------------------)
pi
1660405995.15668 - --
4 11.282079514672*I
(39693.087545396855, ---------------------)
pi
1575541198.88654 - --
4 11.1988512707855*I
(36523.24150216149, ---------------------)
pi
1333947169.82521 - --
4 11.2551206760989*I
(38637.30330726833, ---------------------)
pi
1492841206.85785 - --
4 11.5580407030012*I
(52307.42045705033, ---------------------)
pi
2736066234.87065 - --
4 11.4066899578951*I
(44960.6426129852, ---------------------)
pi
2021459384.17258 - --
4 11.2273930319677*I
(37580.698190926116, ---------------------)
pi
1412308876.51748 - --
4 11.3338539789896*I
(41802.30659013909, ---------------------)
pi
1747432836.25599 - --
4 11.1694459455853*I
(35464.900399804465, ---------------------)
pi
1257759160.36805 - --
4 11.0420237166399*I
(31221.946386244865, ---------------------)
pi
974809936.145549 - --
4 11.4298057377684*I
(46012.04814286972, ---------------------)
pi
2117108574.30176 - --
4 11.1078229352021*I
(33345.42147681561, ---------------------)
pi
1111917133.46648 - --
4 11.3830118604069*I
(43908.56488749434, --------------------)
pi
1927962070.4793 - --
4 11.537806560439*I
(51259.66066279826, ---------------------)
pi
2627552811.26523 - --
4 11.4523853729543*I
(47062.80157581863, ---------------------)
pi
2214907292.16488 - --
4 11.4960321184444*I
(49162.42730089854, ---------------------)
pi
2416944258.11613 - --
4 11.5778631986767*I
(53354.628925477205, ---------------------)
pi
2846716427.77537 - --
4 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{29} = 0.286723089003001$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.286723089003001\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0.286723089003001, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6611.11450768861$$
$$x_{2} = 7119.27916465511$$
$$x_{3} = 7880.04472299826$$
$$x_{4} = 5592.02270333959$$
$$x_{5} = 11663.4000963191$$
$$x_{6} = 8386.33368870474$$
$$x_{7} = 3538.87410033858$$
$$x_{8} = 9397.0282946683$$
$$x_{9} = 4824.82376811952$$
$$x_{10} = 6102.06310938474$$
$$x_{11} = 4054.53230327321$$
$$x_{12} = 3021.08116145156$$
$$x_{13} = 5336.59341967267$$
$$x_{14} = 4568.43882375578$$
$$x_{15} = 8133.27298795849$$
$$x_{16} = 8891.97877514491$$
$$x_{17} = 9901.5243692417$$
$$x_{18} = 7373.05596443826$$
$$x_{19} = 11160.5758616752$$
$$x_{20} = 6865.30203342413$$
$$x_{21} = 2761.21677588913$$
$$x_{22} = 8639.23353753662$$
$$x_{23} = 5847.17376088437$$
$$x_{24} = 12416.863015526$$
$$x_{25} = 5080.86739923716$$
$$x_{26} = 12667.8221245804$$
$$x_{27} = 4311.68544110467$$
$$x_{28} = 6356.70556961525$$
$$x_{29} = 11412.0415014782$$
$$x_{30} = 3280.27440361959$$
$$x_{31} = 10153.5766075849$$
$$x_{32} = 2500.58283369222$$
$$x_{33} = 11914.6546607717$$
$$x_{34} = 12165.8080590305$$
$$x_{35} = 3796.94288728796$$
$$x_{36} = 10909.0000002601$$
$$x_{37} = 9144.57521712702$$
$$x_{38} = 7626.6416564936$$
$$x_{39} = 12918.6878592079$$
$$x_{40} = 10405.50401673$$
$$x_{41} = 9649.34309026885$$
$$x_{42} = 10657.31056559$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
$$\lim_{x \to -0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to -0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to 0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6611.11450768861$$
$$x_{2} = 7119.27916465511$$
$$x_{3} = 7880.04472299826$$
$$x_{4} = 5592.02270333959$$
$$x_{5} = 11663.4000963191$$
$$x_{6} = 8386.33368870474$$
$$x_{7} = 3538.87410033858$$
$$x_{8} = 9397.0282946683$$
$$x_{9} = 4824.82376811952$$
$$x_{10} = 6102.06310938474$$
$$x_{11} = 4054.53230327321$$
$$x_{12} = 3021.08116145156$$
$$x_{13} = 5336.59341967267$$
$$x_{14} = 4568.43882375578$$
$$x_{15} = 8133.27298795849$$
$$x_{16} = 8891.97877514491$$
$$x_{17} = 9901.5243692417$$
$$x_{18} = 7373.05596443826$$
$$x_{19} = 11160.5758616752$$
$$x_{20} = 6865.30203342413$$
$$x_{21} = 2761.21677588913$$
$$x_{22} = 8639.23353753662$$
$$x_{23} = 5847.17376088437$$
$$x_{24} = 12416.863015526$$
$$x_{25} = 5080.86739923716$$
$$x_{26} = 12667.8221245804$$
$$x_{27} = 4311.68544110467$$
$$x_{28} = 6356.70556961525$$
$$x_{29} = 11412.0415014782$$
$$x_{30} = 3280.27440361959$$
$$x_{31} = 10153.5766075849$$
$$x_{32} = 2500.58283369222$$
$$x_{33} = 11914.6546607717$$
$$x_{34} = 12165.8080590305$$
$$x_{35} = 3796.94288728796$$
$$x_{36} = 10909.0000002601$$
$$x_{37} = 9144.57521712702$$
$$x_{38} = 7626.6416564936$$
$$x_{39} = 12918.6878592079$$
$$x_{40} = 10405.50401673$$
$$x_{41} = 9649.34309026885$$
$$x_{42} = 10657.31056559$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
$$\lim_{x \to -0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to -0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 1033.23084583138 \pi^{3} - 6151.36935898162 \pi - 51.6578193468891 \pi^{5} + 9170.44720778804 + 1900.87828723035 \pi^{2} + 402.823633066476 \pi^{4} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0.886226925452758^-}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
$$\lim_{x \to 0.886226925452758^+}\left(\frac{4 \left(\frac{16 x}{\sqrt{1 - x^{2}} \left(4 x^{2} - \pi\right)} - \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{8 \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} - \pi} - 1\right) \operatorname{acos}{\left(x \right)}}{4 x^{2} - \pi}\right)}{4 x^{2} - \pi}\right) = \frac{1 \left(- 9838.4851173871 \pi^{2} - 402.823633066476 \pi^{4} - 9170.44720778804 + 19.6578193468891 \pi^{5} + 15502.6420982459 \pi + 2928.19489084053 \pi^{3} - 1.53924957636235 \cdot 10^{-14} i \pi^{2} - 7.59589219662035 \cdot 10^{-14} i + 2.59930981663333 \cdot 10^{-16} i \pi^{4} + 6.4475935481883 \cdot 10^{-14} i \pi\right)}{- 620.125533605997 \pi^{3} - 1836.11810871169 \pi - 18.8495559215388 \pi^{5} + 1 \pi^{6} + 961.389193575305 + 1461.13636551004 \pi^{2} + 148.04406601634 \pi^{4}}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
$$x_{1} = -0.886226925452758$$
$$x_{2} = 0.886226925452758$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x)/(x^2 - pi/4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x \left(x^{2} - \frac{\pi}{4}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}$$
- No
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}$$
- No
$$\frac{\operatorname{acos}{\left(x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x \right)}}{x^{2} - \frac{\pi}{4}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar