Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ acos(log(x)/x^4)

Gráfico de la función y = acos(log(x)/x^4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /log(x)\
f(x) = acos|------|
           |   4  |
           \  x   /
f(x)=acos⁡(log⁡(x)x4)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} 
f = acos(log(x)/x^4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101013
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(log⁡(x)x4)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(log(x)/x^4).
acos⁡(log⁡(0)04)\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(0 \right)}}{0^{4}} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1xx4−4log⁡(x)x51−log⁡(x)2x8=0- \frac{\frac{1}{x x^{4}} - \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x^{5}}}{\sqrt{1 - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{8}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e14x_{1} = e^{\frac{1}{4}}
Signos de extremos en los puntos:
           / -1\ 
  1/4      |e  | 
(e  , acos|---|)
           \ 4 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e14x_{1} = e^{\frac{1}{4}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e14,∞)\left[e^{\frac{1}{4}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e14]\left(-\infty, e^{\frac{1}{4}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(log⁡(x)x4)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acos⁡(log⁡(x)x4)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(log(x)/x^4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(log⁡(x)x4)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(log⁡(x)x4)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(log⁡(x)x4)=acos⁡(log⁡(−x)x4)\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{4}} \right)}
- No
acos⁡(log⁡(x)x4)=−acos⁡(log⁡(−x)x4)\operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{4}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\log{\left(- x \right)}}{x^{4}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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