Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
x^3/(x^2-1)
-
x^3-3*x
-
-x^2
-
Expresiones idénticas
- log(cos(x)^ dos +sqrt(uno +cos(x)^ dos))
- logaritmo de ( coseno de (x) al cuadrado más raíz cuadrada de (1 más coseno de (x) al cuadrado ))
- logaritmo de ( coseno de (x) en el grado dos más raíz cuadrada de (uno más coseno de (x) en el grado dos))
- log(cos(x)^2+√(1+cos(x)^2))
- log(cos(x)2+sqrt(1+cos(x)2))
- logcosx2+sqrt1+cosx2
- log(cos(x)²+sqrt(1+cos(x)²))
- log(cos(x) en el grado 2+sqrt(1+cos(x) en el grado 2))
- logcosx^2+sqrt1+cosx^2
-
Expresiones semejantes
- log(cos(x)^2+sqrt(1-cos(x)^2))
- log(cos(x)^2-sqrt(1+cos(x)^2))
- log(cosx^2+sqrt(1+cosx^2))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x^2+1)
- log(x^2)
- log(x/(x-1))
- log(x)^4
- log(1-x)
- Coseno cos
- cos(x)+1
- cosx/cos2x
- cos(x/4)
- cos(x)/2+(-1-x)*exp(x)
- cosx*1/2cos2x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1-x^2)
- sqrt(x)+2
- sqrtx/x^3
- sqrt(x^2)/x
- sqrt((9-x^2)+(4-x^2))
- Coseno cos
- cos(x)+1
- cosx/cos2x
- cos(x/4)
- cos(x)/2+(-1-x)*exp(x)
- cosx*1/2cos2x
Gráfico de la función y = log(cos(x)^2+sqrt(1+cos(x)^2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ _____________\
| 2 / 2 |
f(x) = log\cos (x) + \/ 1 + cos (x) /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$
f = log(sqrt(cos(x)^2 + 1) + cos(x)^2)
Gráfico de la función
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\ (0, log\1 + \/ 2 /)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)^2 + sqrt(1 + cos(x)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$
- Sí
$$\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$
- Sí
$$\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par