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Trazado el gráfico de la función/ log(cos(x)^2+sqrt(1+cos(x)^2))

Gráfico de la función y = log(cos(x)^2+sqrt(1+cos(x)^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /             _____________\
          |   2        /        2    |
f(x) = log\cos (x) + \/  1 + cos (x) /
f(x)=log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} 
f = log(sqrt(cos(x)^2 + 1) + cos(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(x)^2 + sqrt(1 + cos(x)^2)).
log⁡(cos⁡2(0)+1+cos⁡2(0))\log{\left(\cos^{2}{\left(0 \right)} + \sqrt{1 + \cos^{2}{\left(0 \right)}} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(1+2)f{\left(0 \right)} = \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}
Punto:
(0, log(1 + sqrt(2)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)+1cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x)=0\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1}}}{\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
       /      ___\ 
(0, log\1 + \/ 2 /)

 -pi     
(----, 0)
  2      

 pi    
(--, 0)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))=⟨0,log⁡(1+2)⟩\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,log⁡(1+2)⟩y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))=⟨0,log⁡(1+2)⟩\lim_{x \to \infty} \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,log⁡(1+2)⟩y = \left\langle 0, \log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)^2 + sqrt(1 + cos(x)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))=log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))=−log⁡(cos⁡2(x)+1+cos⁡2(x))\log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\sqrt{\cos^{2}{\left(x \right)} + 1} + \cos^{2}{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
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