Sr Examen

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acos((1-x)/(1-2*x))
Trazado el gráfico de la función/ acos((1-x)/(1-2*x))

Gráfico de la función y = acos((1-x)/(1-2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 1 - x \
f(x) = acos|-------|
           \1 - 2*x/
f(x)=acos⁡(1−x1−2x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} 
f = acos((1 - x)/(1 - 2*x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(1−x1−2x)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((1 - x)/(1 - 2*x)).
acos⁡(1−01−0)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 0}{1 - 0} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−11−2x+2(1−x)(1−2x)21−(1−x)2(1−2x)2=0- \frac{- \frac{1}{1 - 2 x} + \frac{2 \left(1 - x\right)}{\left(1 - 2 x\right)^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(1 - 2 x\right)^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2(x−1)2x−1−1)((x−1)(2(x−1)2x−1−1)(2x−1)(−(x−1)2(2x−1)2+1)+4)(2x−1)2−(x−1)2(2x−1)2+1=0- \frac{\left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=38−3324x_{1} = \frac{3}{8} - \frac{\sqrt{33}}{24}
x2=3324+38x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{24} + \frac{3}{8}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = 0.5

lim⁡x→0.5−(−(2(x−1)2x−1−1)((x−1)(2(x−1)2x−1−1)(2x−1)(−(x−1)2(2x−1)2+1)+4)(2x−1)2−(x−1)2(2x−1)2+1)=∞i\lim_{x \to 0.5^-}\left(- \frac{\left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1}}\right) = \infty i
lim⁡x→0.5+(−(2(x−1)2x−1−1)((x−1)(2(x−1)2x−1−1)(2x−1)(−(x−1)2(2x−1)2+1)+4)(2x−1)2−(x−1)2(2x−1)2+1)=−∞i\lim_{x \to 0.5^+}\left(- \frac{\left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right) \left(\frac{\left(x - 1\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x - 1} - 1\right)}{\left(2 x - 1\right) \left(- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1\right)} + 4\right)}{\left(2 x - 1\right)^{2} \sqrt{- \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(2 x - 1\right)^{2}} + 1}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=0.5x_{1} = 0.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(1−x1−2x)=π3\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} = \frac{\pi}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π3y = \frac{\pi}{3}
lim⁡x→∞acos⁡(1−x1−2x)=π3\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} = \frac{\pi}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π3y = \frac{\pi}{3}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((1 - x)/(1 - 2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(1−x1−2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(1−x1−2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(1−x1−2x)=acos⁡(x+12x+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{2 x + 1} \right)}
- No
acos⁡(1−x1−2x)=−acos⁡(x+12x+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{1 - 2 x} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{2 x + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = acos((1-x)/(1-2*x))
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