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acos(1/sqrt(1+2*x^2))
Trazado el gráfico de la función/ acos(1/sqrt(1+2*x^2))

Gráfico de la función y = acos(1/sqrt(1+2*x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /      1      \
f(x) = acos|-------------|
           |   __________|
           |  /        2 |
           \\/  1 + 2*x  /
f(x)=acos⁡(12x2+1)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} 
f = acos(1/(sqrt(2*x^2 + 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(12x2+1)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1/(sqrt(1 + 2*x^2))).
acos⁡(12⋅02+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0^{2} + 1}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x1−12x2+1(2x2+1)32=0\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}} \left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−6x22x2+1−2x2(1−12x2+1)(2x2+1)2+1)1−12x2+1(2x2+1)32=0\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{\left(1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right) \left(2 x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}{\sqrt{1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}} \left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(12x2+1)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞acos⁡(12x2+1)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1/(sqrt(1 + 2*x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(12x2+1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(12x2+1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(12x2+1)=acos⁡(12x2+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}
- Sí
acos⁡(12x2+1)=−acos⁡(12x2+1)\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = acos(1/sqrt(1+2*x^2))
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