Sr Examen

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acos(1/sqrt(1+2*x^2))

Gráfico de la función y = acos(1/sqrt(1+2*x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /      1      \
f(x) = acos|-------------|
           |   __________|
           |  /        2 |
           \\/  1 + 2*x  /
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}$$
f = acos(1/(sqrt(2*x^2 + 1)))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(1/(sqrt(1 + 2*x^2))).
$$\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0^{2} + 1}} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\sqrt{1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}} \left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{\left(1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}\right) \left(2 x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)}{\sqrt{1 - \frac{1}{2 x^{2} + 1}} \left(2 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \frac{\pi}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\pi}{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(1/(sqrt(1 + 2*x^2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}$$
- Sí
$$\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{\sqrt{2 x^{2} + 1}} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = acos(1/sqrt(1+2*x^2))