Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y^2
-
x^2*exp(-x)
-
-cos(x)-sin(x)
-
x-4
-
Expresiones idénticas
- lnx*sin(pi/x)^ dos
- lnx multiplicar por seno de ( número pi dividir por x) al cuadrado
- lnx multiplicar por seno de ( número pi dividir por x) en el grado dos
- lnx*sin(pi/x)2
- lnx*sinpi/x2
- lnx*sin(pi/x)²
- lnx*sin(pi/x) en el grado 2
- lnxsin(pi/x)^2
- lnxsin(pi/x)2
- lnxsinpi/x2
- lnxsinpi/x^2
- lnx*sin(pi dividir por x)^2
-
Expresiones con funciones
- lnx
- lnx^2
- lnx/(x-1)
- lnx/ln10
- lnx/x^2
- lnx-(exp^3)x
- Seno sin
- sin(x)/x^3
- sin(x)-x*cos(x)
- sin(2*x)/x
- sin(sin(x))/x
- sin(2*x)^3
- Número Pi pi
- pi-asin(1/tanh(x))
- pi+asin(1-x+exp(-x))
- pi-x-cos(x)-sin(x)
- pi+asin(x^2-1/(3*x))
- pi*x
Gráfico de la función y = lnx*sin(pi/x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2/pi\
f(x) = log(x)*sin |--|
\x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
f = log(x)*sin(pi/x)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.166666668031717$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.166666668031717$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} - \frac{2 \pi \log{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.70250042717629$$
$$x_{2} = 56003.5305668506$$
$$x_{3} = 54937.4889770141$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 2.70250042717629$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.70250042717629\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2.70250042717629, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} - \frac{2 \pi \log{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.70250042717629$$
$$x_{2} = 56003.5305668506$$
$$x_{3} = 54937.4889770141$$
Signos de extremos en los puntos:
2 (2.7025004271762914, 0.994177428598297*sin (0.370027693592208*pi))
2 (56003.53056685064, 10.9331700135666*sin (1.78560171096055e-5*pi))
2 (54937.48897701406, 10.9139512537816*sin (1.82025064964e-5*pi))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 2.70250042717629$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.70250042717629\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[2.70250042717629, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4747.16107405724$$
$$x_{2} = 12448.3068618287$$
$$x_{3} = 8103.98031866077$$
$$x_{4} = 8617.32562919682$$
$$x_{5} = 5266.18768427361$$
$$x_{6} = 10919.5401152508$$
$$x_{7} = 6817.33300796287$$
$$x_{8} = 9897.80649808317$$
$$x_{9} = 11939.1934119161$$
$$x_{10} = 11174.6396326355$$
$$x_{11} = 7847.03871133921$$
$$x_{12} = 8873.74078945848$$
$$x_{13} = 12956.9760736078$$
$$x_{14} = 10664.3107820446$$
$$x_{15} = 12193.8070520423$$
$$x_{16} = 13211.150734372$$
$$x_{17} = 4487.25603049829$$
$$x_{18} = 9129.99148760471$$
$$x_{19} = 11429.6128225485$$
$$x_{20} = 9386.08281061731$$
$$x_{21} = 9642.01960701219$$
$$x_{22} = 7589.90971481708$$
$$x_{23} = 8360.74067063199$$
$$x_{24} = 5006.80446675974$$
$$x_{25} = 5784.1915233558$$
$$x_{26} = 10153.4478892844$$
$$x_{27} = 11684.4630193234$$
$$x_{28} = 12702.6956409978$$
$$x_{29} = 5525.31480812232$$
$$x_{30} = 3.90828663527927$$
$$x_{31} = 6042.82446196221$$
$$x_{32} = 7075.06366177143$$
$$x_{33} = 6301.22076915948$$
$$x_{34} = 6559.38781580674$$
$$x_{35} = 10408.9479815017$$
$$x_{36} = 7332.58692266382$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3.90828663527927, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.90828663527927\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4747.16107405724$$
$$x_{2} = 12448.3068618287$$
$$x_{3} = 8103.98031866077$$
$$x_{4} = 8617.32562919682$$
$$x_{5} = 5266.18768427361$$
$$x_{6} = 10919.5401152508$$
$$x_{7} = 6817.33300796287$$
$$x_{8} = 9897.80649808317$$
$$x_{9} = 11939.1934119161$$
$$x_{10} = 11174.6396326355$$
$$x_{11} = 7847.03871133921$$
$$x_{12} = 8873.74078945848$$
$$x_{13} = 12956.9760736078$$
$$x_{14} = 10664.3107820446$$
$$x_{15} = 12193.8070520423$$
$$x_{16} = 13211.150734372$$
$$x_{17} = 4487.25603049829$$
$$x_{18} = 9129.99148760471$$
$$x_{19} = 11429.6128225485$$
$$x_{20} = 9386.08281061731$$
$$x_{21} = 9642.01960701219$$
$$x_{22} = 7589.90971481708$$
$$x_{23} = 8360.74067063199$$
$$x_{24} = 5006.80446675974$$
$$x_{25} = 5784.1915233558$$
$$x_{26} = 10153.4478892844$$
$$x_{27} = 11684.4630193234$$
$$x_{28} = 12702.6956409978$$
$$x_{29} = 5525.31480812232$$
$$x_{30} = 3.90828663527927$$
$$x_{31} = 6042.82446196221$$
$$x_{32} = 7075.06366177143$$
$$x_{33} = 6301.22076915948$$
$$x_{34} = 6559.38781580674$$
$$x_{35} = 10408.9479815017$$
$$x_{36} = 7332.58692266382$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{2 \pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{4 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}}{x^{2}}\right) = - \infty \left(\left\langle -1, 0\right\rangle \pi + \left\langle 0, 1\right\rangle \pi\right)$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3.90828663527927, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3.90828663527927\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*sin(pi/x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
$$\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \log{\left(- x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar